Эллиптический фильтр: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
м
Нет описания правки
м
== Свойства ==
 
[[Изображение:CauerResponse1.png|thumb|right|340px|АЧХ эллиптического фильтр низких частот четвёртого порядка с ε=0.,5 и ξ=1.,05. Также показано минимальное усиление в полосе пропускания, максимальное усиление в полосе подавления, и переходная зона между частотами (нормированными) 1 и ξ]]
[[Изображение:CauerResponse2.png|thumb|right|340px| Переходная зона (увеличено).]]
 
* В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. Полоса пропускания, таким образом, варьируется от единицы до <math>1/\sqrt{1+\epsilon^2}</math>.
 
* В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения <math>L_n</math>, которое определяется как:
: Полоса подавления таким образом меняет значения от нуля до <math>1/\sqrt{1+\epsilon^2L_n^2}</math>.
 
* Предельный случай <math>\xi \rightarrow \infty</math> превращает эллиптическую функцию в [[многочлен ЧебышеваЧебышёва]], и, таким образом, эллиптический фильтр становится [[Фильтр ЧебышеваЧебышёва|фильтром ЧебышеваЧебышёва I рода]] с показателем пульсаций ε.
 
* Так как [[фильтр Баттерворта]] является предельным случаем фильтра ЧебышеваЧебышёва, то при выполнении условий <math>\xi \rightarrow \infty</math>, <math>\omega_0 \rightarrow 0</math> и <math>\epsilon \rightarrow 0</math> так что <math>\epsilon\,R_n(\xi,1/\omega_0)=1</math> эллиптический фильтр становится фильтром Баттерворта.
 
* Предельный случай <math>\xi \rightarrow \infty</math>, <math>\epsilon \rightarrow 0</math> и <math>\omega_0\rightarrow 0</math> так что <math>\xi\omega_0=1</math> и <math>\epsilon L_n=\alpha</math> превращает эллиптический фильтр в [[Фильтр ЧебышеваЧебышёва|фильтр ЧебышеваЧебышёва II рода]] с [[АЧХ]]
 
:: <math>G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\alpha^2 T^2_n(1/\omega)}}}.</math>
<br style="clear:both;" />
== Полюсы и нули ==
 
[[Изображение:EllipticGain8.png|right|thumb|300px|Лограрифм модуля АЧХ эллиптического фильтра 8 порядка на плоскости комплексной частоты (s=σ+jω) с ε=0.,5, ξ=1.,05 и <math>\omega_0=1</math>. Белые пятна  — полюса, тёмные  — нули. Всего на графике 16 полюсов и 8 нулей второго порядка. На графике чёрный цвет соответствует усилению менее 0,0001, а белый  — усилению более 10.]]
[[Изображение:EllipticGain8a.png|right|thumb|300px|Переходная зона фильтра (увеличено).]]
 
[[Нуль (ТФКП)|Нули]] модуля АЧХ совпадают с [[полюс (ТФКП)|полюсами]] дробно-рациональной эллиптической функции.
 
Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра ЧебышеваЧебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса <math>(\omega_{pm})</math> эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту <math>s=\sigma+j\omega,</math> получим:
 
: <math>1+\epsilon^2R_n^2(-js,\xi)=0\,</math>
 
Пусть <math>-js=\mathrm{cd}(w,1/\xi)</math>, где cd()  — [[Эллиптическая функция Якоби|эллиптическая косинус-функция Якоби]]. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:
 
: <math>1+\epsilon^2\mathrm{cd}^2\left(\frac{nwK_n}{K},\frac{1}{L_n}\right)=0\,</math>
где <math>K=K(1/\xi)</math> and <math>K_n=K(1/L_n)</math>. Разрешив относительно ''w''
 
: <math>w=\frac{K}{nK_n}\mathrm{cd}^{-1}\left(\frac{\pm j}{\epsilon},\frac{1}{L_n}\right)+\frac{mK}{n},</math>
 
где значения обратной cd() -функции сделаны явными при помощи целого индекса ''m''.
 
Полюса эллиптической функции в таком случае:
 
: <math>s_{pm}=i\,\mathrm{cd}(w,1/\xi).\,</math>
 
Как и в случае многочленов ЧебышеваЧебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме
<ref>{{книга
|автор = Miroslav D. Lutovac
}}</ref>
 
: <math>s_{pm}=\frac{a+jb}{c},</math>
 
: <math>a=-\zeta_n\sqrt{1-\zeta_n^2}\sqrt{1-x_m^2}\sqrt{1-x_m^2/\xi^2},</math>
 
: <math>b=x_m\sqrt{1-\zeta_n^2(1-1/\xi^2)},</math>
 
: <math>c=1-\zeta_n^2+x_i^2\zeta_n^2/\xi^2,</math>
 
где <math>\zeta_n</math>  — функция от <math>n,\,\epsilon</math>, а <math>\xi</math> и <math>x_m</math>  — нули эллиптической функции. Функция <math>\zeta_n</math> определена для всех ''n'' в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем
 
: <math>\zeta_1=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}},</math>
 
: <math>\zeta_2=\frac{2}{(1+t)\sqrt{1+\epsilon^2}+\sqrt{(1-t)^2+\epsilon^2(1+t)^2}},</math>
 
где
 
: <math>t=\frac{1}{\sqrt{1-1/\xi^2}}.</math>
 
рекурсивныеРекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для <math>\zeta_n</math>:
 
: <math>\zeta_{m\cdot n}(\xi,\epsilon)=
\zeta_m\left(\xi,\sqrt{\frac{1}{\zeta_n^2(L_m,\epsilon)}-1}\right),</math>
 
где <math>L_m=R_m(\xi,\xi).</math>.
 
== Эллиптические фильтры с минимальной добротностью ==
[[Изображение:Elliptic8_Qfactor.png|300px|thumb|right|Нормированные добротности для полюсов эллиптического фильтра восьмого порядка с ξ=1.,1 как функции показателя пульсаций ε. Каждая кривая представляет четыре полюса, так как комплексно сопряжённые и противоположные по знаку пары полюсов имеют одинаковую добротность. Добротность всех полюсов имеет минимум при ε<sub>Qmin</sub>=1/√L<sub>n</sub>=0,02323…]]
 
См. <ref>{{книга
: <math>\epsilon_{Qmin}=\frac{1}{\sqrt{L_n(\xi)}}</math>
 
Это приводит к существованию фильтра, наименее чувствительномучувствительного к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления, так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически такжетак же, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от [[фильтр Баттерворта|фильтра Баттерворта]], полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули.
 
== Сравнение с другими линейными фильтрами ==

Навигация