Произведение Кронекера: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Строка 6: | Строка 6: | ||
Если ''A'' — матрица размера ''m''×''n'', ''B'' — матрица размера ''p''×''q'', тогда произведением Кронекера есть блочная матрица размера ''mp''×''nq'' |
Если ''A'' — матрица размера ''m''×''n'', ''B'' — матрица размера ''p''×''q'', тогда произведением Кронекера есть блочная матрица размера ''mp''×''nq'' |
||
: <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.</math> |
: <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.</math> |
||
В более общем случае имеем |
|||
<math>\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix} |
|||
a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & |
|||
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ |
|||
a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & |
|||
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ |
|||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ |
|||
a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & |
|||
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ |
|||
\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ |
|||
\vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ |
|||
a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & |
|||
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ |
|||
a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & |
|||
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ |
|||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ |
|||
a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & |
|||
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} |
|||
\end{bmatrix}. </math> |
|||
Если '''A''' и '''B''' представляют собой линейные преобразования '''V'''<sub>1</sub> → '''W'''<sub>1</sub> и '''V'''<sub>2</sub> → '''W'''<sub>2</sub>, соответственно, то '''A''' ⊗ '''B''' представляет собой [[тензорное произведение]] двух отображений, '''V'''<sub>1</sub> ⊗ '''V'''<sub>2</sub> → '''W'''<sub>1</sub> ⊗ '''W'''<sub>2</sub>. |
|||
=== Пример === |
=== Пример === |
Версия от 11:17, 6 сентября 2011
Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.
Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.
Определение
Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведением Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq
В более общем случае имеем
Если A и B представляют собой линейные преобразования V1 → W1 и V2 → W2, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.
Пример
- .
Билинейность, ассоциативность и некоммутативность
- Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и асоциативным:
-
- где A, B и C есть матрицами, а k — скаляр.
- Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что
Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.
Транспонирование
Операция транспонирования является дистрибутивной относительно произведения Кронекера
Смешанное произведение
- Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
- A B является обратной тогда и только тогда, когда A и B являются обратными, и тогда
Сумма и экспонента Кронекера
- Если A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и — единичная матрица размера k×k тогда можно определить сумму Кронекера как
- Также справедливо
Спектр, след и определитель
- Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются
- След и определитель произведения Кронекера равны
Сингулярное разложение и ранг
- Если матрица A имеет rA ненулевых сингулярных значений:
Ненулевые сингулярные значения матрицы B:
Тогда произведение Кронекера A B имеет rArB ненулевых сингулярных значений
- Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, значений