Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

• $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
• $~a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
• $\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Формулы для кубов

• $(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
• $a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$
• $\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Формулы для четвёртой степени

• $(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$

Формулы для n-ой степени

• $~a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
• $~a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$, где $n\in N$
• $~a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
• $~a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$, где $n\in N$

Некоторые свойства формул

• $~(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}$, где $n\in N$
• $~(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}$, где $n\in N$

Интересные формулы

• $~a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (выводится из $a^{2}-b^{2}$)

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона

Источники

• М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике, Москва, 1958