Окрестность: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
интервики
м →‎Примечания: источники, уточнение, оформление
Строка 53: Строка 53:
{{Нет ссылок|дата=14 мая 2011}}
{{Нет ссылок|дата=14 мая 2011}}


== Литература ==
{{книга
|ref=Рудин
|заглавие=Функциональный анализ
|автор=У.Рудин
|место= М. |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |год=[[1975 год|1975]]}}
== Примечания ==
== Примечания ==
{{примечания}}
{{примечания}}

Версия от 01:46, 6 декабря 2012

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения

Математический анализ

Пусть произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , то есть .

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .

В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .

В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .

Общая топология

  • Пусть задано топологическое пространство , где  — произвольное множество, а  — определённая на топология. Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
  • Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .

Замечания

  • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
  • Прямо из определения следует, что является окрестностью множества тогда и только тогда, когда есть окрестность любой точки .

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а  — замкнутой окрестностью точки .

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если

где  — окрестность .

См. также

Литература

У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

Примечания

  1. У.Рудин Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — С. 13.