Окрестность

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения

Математический анализ

Основная статья: ε-окрестность

Пусть $\varepsilon >0$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки $x_{0}$ на числовой прямой (иногда говорят $\varepsilon$-окрестностью) называется множество точек, удаленных от $x_{0}$ не более чем на $\varepsilon$, то есть $O_{\varepsilon }(x_{0})=\{x:|x-x_{0}|<\varepsilon \}$.

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый $\varepsilon$-шар с центром в точке $x_{0}$.

В банаховом пространстве $(B,\|\cdot \|)$ окрестностью с центром в точке $x_{0}$ называют множество $A=\{x\in B:\|x-x_{0}\|<\epsilon \}$.

В метрическом пространстве $(M,\rho )$ окрестностью с центром в точке $y$ называют множество $A=\{x\in M:\rho (x,y)<\epsilon \}$.

Общая топология

• Пусть задано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$, где $X$ — произвольное множество, а ${\mathcal {T}}$ — определённая на $X$ топология. Множество $V\subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$, если существует открытое множество $U\in {\mathcal {T}}$ такое, что $x\in U\subset V$.

• Аналогично окрестностью множества $M\subset X$ называется такое множество $V\subset X$, что существует открытое множество $U\in {\mathcal {T}}$, для которого выполнено $M\subset U\subset V$.

Замечания

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность $V$ была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество $U$. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.

• Прямо из определения следует, что $V$ является окрестностью множества $M$ тогда и только тогда, когда $V$ есть окрестность любой точки $x\in M$.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда $(-1,2)$ является открытой окрестностью, а $[-1,2]$ — замкнутой окрестностью точки $0$.

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество ${\dot {V}}$ называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки $x\in X$, если

${\dot {V}}=V\setminus \{x\},$

где $V$ — окрестность $x$.

См. также

• Словарь терминов общей топологии

Литература

• Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.