Устойчивость (динамические системы): различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Addbot (обсуждение | вклад) м Интервики (всего 9) перенесены на Викиданные, d:q1341651 |
|||
Строка 110: | Строка 110: | ||
[[Категория:Динамические системы]] |
[[Категория:Динамические системы]] |
||
[[Категория:Теория устойчивости]] |
[[Категория:Теория устойчивости]] |
||
[[en:Lyapunov stability]] |
|||
[[eo:Stabileco de dinamika sistemo]] |
|||
[[es:Estabilidad de Lyapunov]] |
|||
[[fr:Stabilité de Lyapunov]] |
|||
[[it:Stabilità interna]] |
|||
[[ja:リアプノフ安定]] |
|||
[[ko:랴푸노프 안정성]] |
|||
[[pl:Metody Lapunowa]] |
|||
[[zh:李雅普诺夫稳定性]] |
Версия от 05:15, 13 марта 2013
В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путем замены неизвестной функции.
Постановка задачи устойчивости динамических систем
Пусть — область пространства , содержащая начало координат, , где . Рассмотрим систему (1) вида:
((1)) |
При любых существует единственное решение x(t, t0, x0) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t0, t0, x0) = x0. Будем предполагать, что решение x(t, t0, x0) определено на интервале , причём .
Устойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует , зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого , решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству .
Символически это записывается так:
Равномерная устойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:
Неустойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:
Асимптотическая устойчивость
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.
Эквиасимптотическая устойчивость
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.
Равномерная асимптотическая устойчивость
Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.
Асимптотическая устойчивость в целом
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.
Равномерная асимптотическая устойчивость в целом
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.
См. также
Литература
- Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
- Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
- Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
- Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X..
- Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.