Окрестность: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Fuxx (обсуждение | вклад) {{sfn|Рудин|1975|c=13}} |
Addbot (обсуждение | вклад) м Перемещение 30 интервики на Викиданные, d:q2478475 |
||
Строка 70: | Строка 70: | ||
[[Категория:Математический анализ]] |
[[Категория:Математический анализ]] |
||
[[ar:جوار (رياضيات)]] |
|||
[[bs:Okolina (matematika)]] |
|||
[[ca:Veïnat (matemàtiques)]] |
|||
[[cs:Okolí (matematika)]] |
|||
[[de:Umgebung (Mathematik)]] |
|||
[[el:Γειτονιά (μαθηματικά)]] |
|||
[[en:Neighbourhood (mathematics)]] |
|||
[[es:Entorno (matemática)]] |
|||
[[et:Ümbrus]] |
|||
[[fa:همسایگی (توپولوژی)]] |
|||
[[fi:Ympäristö (topologia)]] |
|||
[[fr:Voisinage (mathématiques)]] |
|||
[[he:סביבה (מתמטיקה)]] |
|||
[[is:Grennd]] |
|||
[[it:Intorno]] |
|||
[[ja:近傍 (位相空間論)]] |
|||
[[kk:Нүктенің маңайы]] |
|||
[[ko:근방]] |
|||
[[ky:Аймак (Математика)]] |
|||
[[nl:Omgeving (wiskunde)]] |
|||
[[no:Omegn (matematikk)]] |
|||
[[pl:Otoczenie (matematyka)]] |
|||
[[pt:Vizinhança]] |
[[pt:Vizinhança]] |
||
[[ro:Vecinătate (matematică)]] |
|||
[[sk:Okolie (matematika)]] |
|||
[[sl:Okolica (matematika)]] |
|||
[[sr:Околина (математика)]] |
|||
[[sv:Omgivning]] |
|||
[[uk:Окіл]] |
|||
[[vi:Lân cận (toán học)]] |
|||
[[zh:邻域]] |
Версия от 04:15, 15 апреля 2013
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , то есть .
В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
Общая топология
- Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
- Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Oкрестностью множества точек называется такое множество , что есть окрестность любой точки .
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
См. также
Примечания
- ↑ Рудин, 1975, с. 13.
Литература
- Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
- У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.