Статистика Бозе — Эйнштейна: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
 
== Вывод и описание ==
 
 
 
Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов отдельных частиц. Собственные функции гамильтониана системы представляются как произведение собственных функций гамильтонианов отдельных частиц. А собственные значения (энергия) гамильтониана системы равна сумме энергий (собственных значений гамильтонианов) отдельных частиц. Если на данном энергетическом уровне <math>e_l</math> находится <math>n_l</math> частиц, то энергия системы есть взвешенная сумма <math>E=\sum^{\infty}_{l=0}n_l e_l</math>, а волновая функция системы есть произведение
 
где <math>\psi_{l_i}</math> - волновая функция для энергетического уровня <math>e_{l_i}</math>.
 
Общая формула вероятности состояния системы с данным энергетическим уровнем определяется следующим образом ([[большой канонический ансамбль]]):
Необходимо учесть, что произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть
 
<math>W(E)=e^{\frac {\Omega+\mu n-E}{\Theta}}g(E)</math>
 
где <math>g(E)</math> - кратность вырождения данного уровня энергии.
 
Для описанной выше волновой функции перестановка координат меняет волновую функцию, то есть перестановка координат создает новое микросостояние. То есть выбор такой волновой функции предполагает микроскопическую различимость частиц. Однако макроскопически они соответствуют одному и тому же состоянию. Поэтому для такой волновой функции при характеристике макросостояний необходимо вышеуказанную формулу разделить на <math>n!</math> для исключения многократного учета одного и того же макросостояния в статистической сумме.
 
НеобходимоОднако, необходимо учесть, что, как известно, произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их микроскопической неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть
 
<math>\psi=\sum_P P\psi</math>
 
где <math>P</math> - операция перестановки координат частиц. Кроме того, по теореме Паули для бозонов волновые функции симметричны, то есть умножение на минус единицу координат, также не меняет волновую функцию. Такие волновые функции описывают невырожденные состояния, поэтому <math>g(E)=1</math>. Кроме того, отпадает вышеуказанная необходимость деления на <math>n!</math>, поскольку для выбранной волновой функции перестановки не приводят к новым микросостояниям. Таким образом, окончательно можно выразить вероятность данного состояния следующим образом через числа заполнения <math>n_l</math>.
 
Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии ''i'', равняется

Навигация