Двойственное пространство: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Сорахеку (обсуждение | вклад) м Дoбaвлeнa Категория:Теория операторов с помощью HotCat |
Сорахеку (обсуждение | вклад) м Дoбaвлeнa Категория:Топологические пространства функций с помощью HotCat |
||
Строка 30: | Строка 30: | ||
[[Категория:Теории двойственности]] |
[[Категория:Теории двойственности]] |
||
[[Категория:Теория операторов]] |
[[Категория:Теория операторов]] |
||
[[Категория:Топологические пространства функций]] |
|||
[[pl:Moduł dualny#Przestrzenie liniowe]] |
[[pl:Moduł dualny#Przestrzenie liniowe]] |
Версия от 16:26, 21 июня 2014
Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.
Линейно-сопряжённое пространство — определение
Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .
Свойства
- В конечномерном случае сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем :
- любому базису из можно поставить в соответствие т.н. двойственный базис из , где функционал — проектор на вектор :
- Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между и .
- Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и .
- В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому , совпадает с (точнее, существует канонический изоморфизм между и ).
Обозначения
В конечномерном случае обычно элементы пространства обозначают вектором-столбцом, а элементы — вектором-строкой [источник не указан 4728 дней]. В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).
Вариации и обобщения
- В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
- При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
Ссылки
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
Для улучшения этой статьи желательно:
|