Число Вудала: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка Следующая правка →

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Версия от 21:34, 26 июня 2014

В теории чисел число Вудала (W_n) — любое натуральное число вида

W_{n}=n\cdot 2^{n}-1

для некоторого натурального n. Несколько первых чисел Вудала:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … последовательность A003261 в OEIS.

Числа Вудала были впервые изучены Алланом Дж. Куннингамом (англ. Allan Joseph Champneys Cunningham) и Г. Дж. Вудалом (англ. H. J. Woodall) в 1917, воодушевлённые более ранними исследованиями Джеймса Каллена подобным образом определённых чисел Каллена. Числа Вудала странным образом проявились в теореме Гудстейна.

Числа Вудала, являющиеся простыми числами, называются простыми числами Вудала. Несколько первых экспонент n, для которых соответствующие числа Вудала W_n простые:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … последовательность A002234 в OEIS.

Сами же простые числа Вудала образуют последовательность:

7, 23, 383, 32212254719, … последовательность A050918 в OEIS.

В 1976 году Христофер Хулей (англ. Christopher Hooley) показал, что почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел $n\cdot 2^{n+a}+b$ , где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Предполагают, что существует бесконечно много простых чисел Вудала. К декабрю 2007 года наибольшее известное простое число Вудала — $3752948*2^{3752948}-1$ .^[1] Оно имеет 1 129 757 цифр и было найдено Матью Томпсоном (Matthew J. Thompson) в 2007 в проекте распределённых вычислений PrimeGrid.

Подобно числам Каллена, числа Вудала имеют много свойств делимости. Например, если p простое число, то p делит

W_{(p+1)/2}

, если символ Якоби

\left({\frac {2}{p}}\right)

равен +1 и

W_{(3p-1)/2}

, если символ Якоби

\left({\frac {2}{p}}\right)

равен −1.

Обобщённое число Вудала определяется как число вида $n\cdot b^{n}-1$ , где n + 2 > b. Если простое число можно записать в таком виде, его называют обобщённым простым числом Вудала.

См. также

Простые числа Мерсенна — простые числа вида 2ⁿ − 1.

Примечания

↑ "The Prime Database: 938237*2^3752950-1", Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, Дата обращения: 22 декабря 2009

Литература

Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. section B20, ISBN 0-387-20860-7.
Keller, Wilfrid (1995), "New Cullen Primes" (PDF), Mathematics of Computation, 64 (212): 1733—1741.
Caldwell, Chris, "The Top Twenty: Woodall Primes", The Prime Pages, Дата обращения: 29 декабря 2007.

Ссылки

Chris Caldwell, The Prime Glossary: Woodall number at The Prime Pages.
Weisstein, Eric W. Woodall number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Steven Harvey, List of Generalized Woodall primes.
Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers

[1] "The Prime Database: 938237*2^3752950-1", Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, Дата обращения: 22 декабря 2009

[1]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 В [[Теория чисел|теории чисел]] '''число Вудала''' (W<sub>n</sub>) — любое [[натуральное число]] вида
-: W<sub>n</sub> = ''n'' × 2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1
+: <math>W_n = n \cdot 2^n - 1</math>
 для некоторого натурального ''n''. Несколько первых чисел Вудала:
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 : 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … {{OEIS|id=A003261}}.
-Числа Вудала были впервые изучены {{нп2|Аллан Джозеф Куннингам|Алланом Дж. Куннингамом|en|Allan Joseph Champneys Cunningham}} и {{нп2|Герберт Вудал|Г. Дж. Вудалом|en|H. J. Woodall}} в 1917, воодушевленные более ранними исследованиями [[Джеймс Каллен (математик)|Джеймса Каллена]] подобным образом определенных [[Числа Каллена|чисел Каллена]]. Числа Вудала странным образом проявились в [[Теорема Гудстейна|теореме Гудстейна]].
+Числа Вудала были впервые изучены {{нп2|Аллан Джозеф Куннингам|Алланом Дж. Куннингамом|en|Allan Joseph Champneys Cunningham}} и {{нп2|Герберт Вудал|Г. Дж. Вудалом|en|H. J. Woodall}} в 1917, воодушевлённые более ранними исследованиями [[Джеймс Каллен (математик)|Джеймса Каллена]] подобным образом определённых [[Числа Каллена|чисел Каллена]]. Числа Вудала странным образом проявились в [[Теорема Гудстейна|теореме Гудстейна]].
 Числа Вудала, являющиеся [[простое число|простыми числами]], называются '''простыми числами Вудала'''. Несколько первых экспонент ''n'', для которых соответствующие числа Вудала ''W''<sub>''n''</sub> простые:
@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 : 7, 23, 383, 32212254719, … {{OEIS|id=A050918}}.
-В 1976 году {{нп2|Христофер Хулей|Христофер Хулей|en|Christopher Hooley}} показал, что [[почти все]] числа Каллена [[составное число|составные]]. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком [[Хирми Суяма]] чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел ''n'' • 2<sup>''n''+''a''</sup> + ''b'' где ''a'' и ''b'' целые числа, и частично также для [[число Вудала|чисел Вудала]]. Предполагают, что существует бесконечно много простых числе Вудала. К декабрю 2007 года наибольшее известное простое число Вудала — 3752948&nbsp;×&nbsp;2<sup>3752948</sup>&nbsp;−&nbsp;1.<ref>{{Citation |url=http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=83407 |title=The Prime Database: 938237*2^3752950-1 |work=Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database |accessdate=December 22, 2009 }}</ref> Оно имеет 1,129,757 цифр и было найдено Матью Томпсоном (Matthew J. Thompson) в 2007 в проекте [[Распределённые вычисления|распределенных вычислений]] [[PrimeGrid]].
+В 1976 году {{нп2|Христофер Хулей|Христофер Хулей|en|Christopher Hooley}} показал, что [[почти все]] числа Каллена [[составное число|составные]]. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком [[Хирми Суяма]] чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел <math>n \cdot 2^{n+a} + b</math>, где ''a'' и ''b'' целые числа, и частично также для чисел Вудала. Предполагают, что существует бесконечно много простых чисел Вудала. К декабрю 2007 года наибольшее известное простое число Вудала — <math>3752948 * 2^{3752948} - 1</math>.<ref>{{Citation |url=http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=83407 |title=The Prime Database: 938237*2^3752950-1 |work=Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database |accessdate=December 22, 2009 }}</ref> Оно имеет 1 129 757 цифр и было найдено Матью Томпсоном (Matthew J. Thompson) в 2007 в проекте [[Распределённые вычисления|распределённых вычислений]] [[PrimeGrid]].
 Подобно числам Каллена, числа Вудала имеют много свойств делимости. Например, если ''p'' простое число, то ''p'' делит
-: ''W''<sub>(''p'' + 1) / 2</sub> если [[символ Якоби]] <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> равен +1 и
+: <math>W_{(p + 1)/2}</math>, если [[символ Якоби]] <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> равен +1 и
-: ''W''<sub>(3''p''&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp;/&nbsp;2</sub> если символ Якоби <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> равен −1.
+: <math>W_{(3p-1)/2}</math>, если символ Якоби <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> равен −1.
-'''Обобщенное число Вудала''' определяется как число вида ''n'' × ''b''<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1, где ''n''&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;>&nbsp;''b''. Если простое число можно записать в таком виде, его называют '''обобщенным простым числом Вудала'''.
+'''Обобщённое число Вудала''' определяется как число вида <math>n \cdot b^{n} - 1</math>, где ''n'' + 2 > ''b''. Если простое число можно записать в таком виде, его называют '''обобщённым простым числом Вудала'''.
 == См. также ==
-* [[Числа Мерсенна|Простые числа Мерсенна]] — простые числа вида 2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1.
+* [[Числа Мерсенна|Простые числа Мерсенна]] — простые числа вида 2<sup>''n''</sup> − 1.
 == Примечания ==