Анализ (раздел математики): различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Строка 57: | Строка 57: | ||
== Теория динамических систем и эргодическая теория == |
== Теория динамических систем и эргодическая теория == |
||
Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились [[теория динамических систем]], изучающая эволюцию во времени механических систем, и [[эргодическая теория]], нацеленная на обоснование [[Статистическая физика|статистической физики]]. Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт |
Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились [[теория динамических систем]], изучающая эволюцию во времени механических систем, и [[эргодическая теория]], нацеленная на обоснование [[Статистическая физика|статистической физики]]. Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематемического значения, в частности, таковы понятия [[Устойчивость (динамические системы)|устойчивости]] и [[Эргодичность|эргодичности]]. |
||
== Глобальный анализ == |
== Глобальный анализ == |
Версия от 10:44, 30 июля 2014
Анализ как современный раздел математики — значительная часть математики, исторически выросшая из классического математического анализа , и охватывающая, кроме дифференциального и интегрального исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественного и комплексного переменного, теории дифференциальных и интегральных уравнений , вариационное исчисление , гармонический анализ , функциональный анализ , теория динамических систем и эргодическая теория , глобальный анализ . Нестандартный анализ — раздел на стыке математической логики и анализа, применяющий методы теории моделей для альтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.
Считается одним из трёх основных направлений математики, наряду с алгеброй и геометрией. Основной отличительный признак анализа в сравнении с другими направлениями — наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, дифференциальной геометрии и топологии.
История
Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теория обыкновенных дифференциальных уравнений (Эйлер, Иоганн Бернулли, Д’Аламбер), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж), теория аналитических функций (Лагранж, Коши, впоследствии — Риман), начали обособляться ещё в XVIII — первой половине XIX века. Однако началом формирования анализа как самостоятельного современного раздела считаются труды середины XIX века по формализации ключевых понятий классического анализа — вещественного числа, функции, предела, интеграла, прежде всего, в трудах Коши и Больцано, и приобретшие законченную форму к 1870-м — 1880-м годам в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора[1]. В этой связи сформировались теория функций вещественного переменного и, в развитии методов работы с аналитическими функциями, — теория функций комплексного переменного. Созданная Кантором в конце XIX века наивная теория множеств дала толчок к появлению понятий метрического и топологического пространств, что в значительной мере изменило весь инструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов и переместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.
В начале XX века в основном силами французской математической школы (Жордан, Борель, Лебег, Бэр) была создана теории меры, благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительного переменного . Также в начале XX века начал формироваться функциональный анализ как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий топологические векторные пространства . Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар, обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемого на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — Вольтерра, Арцела). Основные вехи формирования функционального анализа в 1910-е — 1920-е годы — обобщение накопленных в классическом анализе и вариационном исчислении результатов на случай в -мерных евклидовых и гильбертовых пространств (в основном — Гильбертом), введение в анализ абстрактных метрических пространств (Фреше), уточнение понятий отделимости и применение общетопологических методов к анализу (Хаусдорф), освоение функциональных пространств и формирование общей теории нормированных пространств (Гильберт, Рис, Банах, Хан). В период 1929—1932 годов сформирована спектральная теория и аксиоматическая теория гильбертовых пространств (фон Нейман, Стоун?!, Рис).
К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как теория динамических систем и эргодическая теория (Джордж Биркгоф, Колмогоров, фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа (Понтрягин). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ Пуанкаре и благодаря полученным результатам в дифференциальной геометрии, выделился в самостоятельное направление анализ на многообразиях — глобальный анализ . Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в вычислительной математике и экономике (линейное программирование), в трудах Понтрягина и учеников в 1950-е годы создана теория оптимального управления.
В начале 1960-х годов Робинсоном создан нестандартный анализ — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария теории моделей.
Классический математический анализ
Классический математический анализ — раздел, фактически полностью соответствующий историческому «анализу бесконечно малых», состоит из двух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений. Основные понятия — предел функции, дифференциал, производная, интеграл.
Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этот классический раздел, при этом он используется в основном в учебных программах и материалах. При этом изучение основ анализа входит в большинство среднеобразовательных программ, а более или менее полное изучение предмета включено в программы первых лет высшего образования для широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. В англо-американской образовательной традиции для обозначения классического математического анализа используется термин «исчисление» (англ. calculus).
Теория функций вещественного переменного
Теория функций вещественного переменного (иногда именуется кратко — теория функций) возникла вследствие формализации понятий вещественного числа и функции[2]: если в классических разделах анализа рассматривались только функции, возникающие в конкретных задачах, естественным образом, то в теории функций сами функции становятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения их свойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функций вещественного переменного[3] — факт, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке (притом согласно более ранним представлениям классического математического анализа дифференцируемость всех непрерывных функций не подвергалась сомнению).
Основные направления теории функций вещественного переменного[4]:
- теория меры, в качестве основного инструмента использует понятия меры множества и измеримой функции, на основе которых вводятся более общими способами, чем в классическом анализе, и исследуются интегрирование и дифференцирование, особым образом вводится понятие сходимости, изучается достаточно широкий класс разрывных функций;
- дескриптивная теория функций вещественного переменного, изучающая классификации функций средствами дескриптивной теории множеств (основной результат — классы Бэра);
- конструктивная теория функций, исследующая задачи приближения и интерполяции функций вещественного переменного (развитая в трудах Чебышёва и Бернштейна[5].
Теория функций комплексного переменного
Предмет изучения теории функций комплексного переменного — числовые функции, определённые на комплексной плоскости или комплексном евклидовом пространстве , при этом наиболее тщательно изучены аналитические функции, играющие важную связующую роль практически для всех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитической функции обобщено для произвольных банаховых пространств, тем самым многие результаты теории функций комплексного переменного нашли обобщение в функциональном анализе.
Функциональный анализ
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Вариационное исчисление
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Гармонический анализ
Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для гармонических функций и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории тригонометрических рядов, преобразований Фурье, почти периодических функций?!, рядов Дирихле[6]. В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара и представления групп[7].
Дифференциальные и интегральные уравнения
В связи с дифференциальными уравнениями в анализе выделяется два основных направления — теория обыкновенных дифференциальных уравнений и теория дифференциальных уравнений в частных производных (в учебных материалах и некоторых классификациях фигурирующая как «уравнения математической физики», так как исследование такого класса уравнений составляет основное наполнение математической физики).
В теории интегральных уравнений, кроме классических методов решения, выделяются такие направления, как теория Фредгольма, оказавшая заметное влияние на формирование функционального анализа как самостоятельного раздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертова пространства.
Теория динамических систем и эргодическая теория
Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились теория динамических систем, изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическая теория, нацеленная на обоснование статистической физики. Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематемического значения, в частности, таковы понятия устойчивости и эргодичности.
Глобальный анализ
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Нестандартный анализ
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Приложения
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Примечания
- ↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров, с. 55.
- ↑ БСЭ, Математика, 1978, В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного.
- ↑ БСЭ, Математика, 1978, для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке).
- ↑ Теория функций // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров), с. 56.
- ↑ Гармонический анализ — статья из Математической энциклопедии. Е. М. Никитин
- ↑ Гармонический анализ абстрактный — статья из Математической энциклопедии. Е. А. Горин, А. И. Штерн
Литература
- Математика, её содержание, методы и значение / А. Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лавреньтев. — М.: Издательство Академии наук СССР, 1956. — Т. 1. — 296 с. — 7000 экз.
- Математика / А. Н. Колмогоров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.