Анализ (раздел математики): различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
добавления по истории
ещё немного по истории
Строка 10: Строка 10:
В начале XX века в основном силами французской математической школы ([[Жордан, Мари Энмон Камиль|Жордан]], [[Борель, Эмиль|Борель]], [[Лебег, Николя|Лебег]], [[Бэр, Рене-Луи|Бэр]]) была создана [[Мера множества|теории меры]], благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительного переменного{{Переход|#Теория функций действительного переменного}}. Также в начале XX века начал формироваться [[функциональный анализ]] как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий [[Топологическое векторное пространство|топологические векторные пространства]] и их отображения{{Переход|#Функциональный анализ}}. Термин «функциональный анализ» ввёл [[Адамар, Жак|Адамар]], обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — [[Вольтерра, Вито|Вольтерра]], [[Арцела, Чезаре|Арцела]]). В [[1900 год в науке|1900 году]] [[Фредгольм, Эрик Ивар|Фредгольм]] публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений{{Переход|#Теория интегральных уравнений}}, развития общей теории интегрирования ([[Лебег, Николя|Лебег]]), так и формирования функционального анализа{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=§1. Fredholm's discovery}}. В [[1906 год в науке|1906 году]] в работе Гильберта очерчена [[спектральная теория]], в том же году опубликована работа [[Фреше, Морис Рене|Фреше]], в которой впервые в анализ введены абстрактные [[Метрическое пространство|метрические пространства]]{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space}}. В 1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены [[Общая топология|общетопологические]] методы к анализу ([[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорф]]), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории [[Нормированное пространство|нормированных пространств]] (Гильберт, [[Рис, Фридьеш|Рис]], [[Банах, Стефан|Банах]], [[Хан, Ханс|Хан]]). В период 1929—1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств ([[Нейман, Джон фон|фон Нейман]], {{iw|Стоун, Маршалл|Стоун|en|Marshall Harvey Stone}}, Рис). В 1936 году [[Соболев, Сергей Львович|Соболевым]] сформулировано понятие обобщённое функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл [[Шварц, Лоран|Лоран Шварц]]), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является [[Дельта-функция|<math>\delta</math>-функция Дирака]]). В 1930-е — 1940-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения [[Общая алгебра|общеалгебраические]] инструментов ([[векторная решётка|векторные решётки]], [[Операторная алгебра|операторные алгебры]], [[Банахова алгебра|банаховы алгебры]]).
В начале XX века в основном силами французской математической школы ([[Жордан, Мари Энмон Камиль|Жордан]], [[Борель, Эмиль|Борель]], [[Лебег, Николя|Лебег]], [[Бэр, Рене-Луи|Бэр]]) была создана [[Мера множества|теории меры]], благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительного переменного{{Переход|#Теория функций действительного переменного}}. Также в начале XX века начал формироваться [[функциональный анализ]] как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий [[Топологическое векторное пространство|топологические векторные пространства]] и их отображения{{Переход|#Функциональный анализ}}. Термин «функциональный анализ» ввёл [[Адамар, Жак|Адамар]], обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — [[Вольтерра, Вито|Вольтерра]], [[Арцела, Чезаре|Арцела]]). В [[1900 год в науке|1900 году]] [[Фредгольм, Эрик Ивар|Фредгольм]] публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений{{Переход|#Теория интегральных уравнений}}, развития общей теории интегрирования ([[Лебег, Николя|Лебег]]), так и формирования функционального анализа{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=§1. Fredholm's discovery}}. В [[1906 год в науке|1906 году]] в работе Гильберта очерчена [[спектральная теория]], в том же году опубликована работа [[Фреше, Морис Рене|Фреше]], в которой впервые в анализ введены абстрактные [[Метрическое пространство|метрические пространства]]{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space}}. В 1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены [[Общая топология|общетопологические]] методы к анализу ([[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорф]]), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории [[Нормированное пространство|нормированных пространств]] (Гильберт, [[Рис, Фридьеш|Рис]], [[Банах, Стефан|Банах]], [[Хан, Ханс|Хан]]). В период 1929—1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств ([[Нейман, Джон фон|фон Нейман]], {{iw|Стоун, Маршалл|Стоун|en|Marshall Harvey Stone}}, Рис). В 1936 году [[Соболев, Сергей Львович|Соболевым]] сформулировано понятие обобщённое функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл [[Шварц, Лоран|Лоран Шварц]]), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является [[Дельта-функция|<math>\delta</math>-функция Дирака]]). В 1930-е — 1940-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения [[Общая алгебра|общеалгебраические]] инструментов ([[векторная решётка|векторные решётки]], [[Операторная алгебра|операторные алгебры]], [[Банахова алгебра|банаховы алгебры]]).
К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как [[теория динамических систем]] и [[эргодическая теория]] ([[Биркгоф, Джордж Дэвид|Джордж Биркгоф]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров]], фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа ([[Вейль, Герман|Вейль]], {{iw|Петер, Фриц|Петер|en|Fritz Peter}}, [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин]]). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] и благодаря полученным результатам в [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной геометрии]], выделился в самостоятельное направление анализ на [[Многообразие|многообразиях]] — глобальный анализ{{Переход|#Глобальный анализ}}. Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах [[Канторович, Леонид Витальевич|Канторовича]] 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в [[Вычислительная математика|вычислительной математике]] и [[Экономика|экономике]] ([[линейное программирование]]), в трудах [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягина]] и учеников в 1950-е годы создана [[теория оптимального управления]].
К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как [[теория динамических систем]] и [[эргодическая теория]] ([[Биркгоф, Джордж Дэвид|Джордж Биркгоф]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров]], фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств — [[Топологическая группа|топологических групп]] и [[Представление группы|представлений]] ([[Вейль, Герман|Вейль]], {{iw|Петер, Фриц (математик)|Петер|en|Fritz Peter}}, [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин]]). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] и благодаря полученным результатам в [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной геометрии]], выделился в самостоятельное направление анализ на [[Многообразие|многообразиях]] — глобальный анализ{{Переход|#Глобальный анализ}}. Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах [[Канторович, Леонид Витальевич|Канторовича]] 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в [[Вычислительная математика|вычислительной математике]] и [[Экономика|экономике]] ([[линейное программирование]]), в трудах [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягина]] и учеников в 1950-е годы создана [[теория оптимального управления]].

Начиная со второй половины XX века с развитием [[Дифференциальная топология|дифференциальной топологии]] к анализу примкнуло новое направление — анализ на [[Многообразие|многообразиях]], получившее название «глобальный анализ»{{Переход|#Глобальный анализ}}. К этому направлению можно отнести и теории [[теория бифуркаций|бифуркаций]] и [[Теория катастроф|катастроф]], созданные в трудах [[Уитни, Хасслер|Уитни]] ([[1955 год в науке|1955]]), [[Том, Рене|Тома]] ([[1959 год в науке|1959]]), {{iw|Мазер, Джон|Мазера|en|John Mather (mathematician)}} ([[1965 год в науке|1965]]) и получившие в 1970-е годы развитие в работах {{нп2|Зиман, Кристофер|Зимана|en|Christopher Zeeman}} и [[Арнольд, Владимир Игоревич|Арнольда]].


В начале 1960-х годов [[Робинсон, Абрахам|Робинсоном]] создан [[нестандартный анализ]]{{Переход|#Нестандартный анализ}} — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария [[Теория моделей|теории моделей]]. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, [[Бесконечно малые и бесконечно большие величины|бесконечно больших и бесконечно малых величин]]), то с разработкой в конце 1970-х годов {{нп2|Нельсон, Эдвард|Нельсоном|en|Edward Nelson}} {{iw|Теория внутренних множеств|теории внутренних множеств|en|Internal set theory}} и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=viii|loc=…нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами}}. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами<ref name="dragalin">{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|ссылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3463/|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие [[метод форсинга|метода форсинга]] (созданного [[Коэн, Пол Джозеф|Коэном]] для доказательства неразрешимости в [[ZFC]] [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезы]]) в работах [[Соловей, Роберт|Соловея]], [[Скотт, Дана|Скотта]] и {{нп2|Вопенка, Петр|Вопенки|cs|Petr Vopěnka}} разработана теория {{iw|Булевозначная модель|булевозначных моделей|en|Boolean-valued model}}, на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ<ref>{{книга
В начале 1960-х годов [[Робинсон, Абрахам|Робинсоном]] создан [[нестандартный анализ]]{{Переход|#Нестандартный анализ}} — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария [[Теория моделей|теории моделей]]. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, [[Бесконечно малые и бесконечно большие величины|бесконечно больших и бесконечно малых величин]]), то с разработкой в конце 1970-х годов {{нп2|Нельсон, Эдвард|Нельсоном|en|Edward Nelson}} {{iw|Теория внутренних множеств|теории внутренних множеств|en|Internal set theory}} и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=viii|loc=…нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами}}. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами<ref name="dragalin">{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|ссылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3463/|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие [[метод форсинга|метода форсинга]] (созданного [[Коэн, Пол Джозеф|Коэном]] для доказательства неразрешимости в [[ZFC]] [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезы]]) в работах [[Соловей, Роберт|Соловея]], [[Скотт, Дана|Скотта]] и {{нп2|Вопенка, Петр|Вопенки|cs|Petr Vopěnka}} разработана теория {{iw|Булевозначная модель|булевозначных моделей|en|Boolean-valued model}}, на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ<ref>{{книга
Строка 57: Строка 59:
== Гармонический анализ ==
== Гармонический анализ ==
{{main|Гармонический анализ}}
{{main|Гармонический анализ}}
Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для [[Гармоническая функция|гармонических функций]] и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории [[Тригонометрический ряд|тригонометрических рядов]], [[Преобразование Фурье|преобразований Фурье]], {{iw|Почти периодическая функция|почти периодических функций|en|Almost periodic function}}, [[Ряд Дирихле|рядов Дирихле]]<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/993/|заглавие=Гармонический анализ|автор=Е. М. Никитин}}</ref>. В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как [[мера Хаара]] и [[Представление группы|представления групп]]<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/994/|заглавие=Гармонический анализ абстрактный|автор=Е. А. Горин, А. И. Штерн}}</ref>.
Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для [[Гармоническая функция|гармонических функций]] и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории [[Тригонометрический ряд|тригонометрических рядов]], [[Преобразование Фурье|преобразований Фурье]], {{iw|Почти периодическая функция|почти периодических функций|en|Almost periodic function}}, [[Ряд Дирихле|рядов Дирихле]]<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/993/|заглавие=Гармонический анализ|автор=Е. М. Никитин}}</ref>.
В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как [[мера Хаара]] и [[Представление группы|представления групп]]<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/994/|заглавие=Гармонический анализ абстрактный|автор=Е. А. Горин, А. И. Штерн}}</ref>. Важнейший результат коммутативного гармонического анализа — [[Двойственность Понтрягина|теорема Понтрягина о двойственности]], благодаря которой относительно простыми общеалгебраическими средствами описываются практически все классические результаты гармонического анализа. Дальнейшее развитие теории — некоммутативный гармонический анализ, имеющий важные приложения в [[Квантовая механика|квантовой механике]].


== Дифференциальные и интегральные уравнения ==
== Дифференциальные и интегральные уравнения ==

Версия от 01:11, 3 августа 2014

Анализ как современный раздел математики — значительная часть математики, исторически выросшая из классического математического анализа[⇨], и охватывающая, кроме дифференциального и интегрального исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественного[⇨] и комплексного[⇨] переменного, теории дифференциальных и интегральных уравнений[⇨], вариационное исчисление[⇨], гармонический анализ[⇨], функциональный анализ[⇨], теория динамических систем и эргодическая теория[⇨], глобальный анализ[⇨]. Нестандартный анализ[⇨] — раздел на стыке математической логики и анализа, применяющий методы теории моделей для альтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.

Считается одним из трёх основных направлений математики, наряду с алгеброй и геометрией. Основной отличительный признак анализа в сравнении с другими направлениями — наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, дифференциальной геометрии и топологии.

История

Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теория обыкновенных дифференциальных уравнений (Эйлер, Иоганн Бернулли, Д’Аламбер), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж), теория аналитических функций (Лагранж, Коши, впоследствии — Риман), начали обособляться ещё в XVIII — первой половине XIX века. Однако началом формирования анализа как самостоятельного современного раздела считаются труды середины XIX века по формализации ключевых понятий классического анализа — вещественного числа, функции, предела, интеграла, прежде всего, в трудах Коши и Больцано, и приобретшие законченную форму к 1870-м — 1880-м годам в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора[1]. В этой связи сформировались теория функций вещественного переменного и, в развитии методов работы с аналитическими функциями, — теория функций комплексного переменного. Созданная Кантором в конце XIX века наивная теория множеств дала толчок к появлению понятий метрического и топологического пространств, что в значительной мере изменило весь инструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов и переместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.

В начале XX века в основном силами французской математической школы (Жордан, Борель, Лебег, Бэр) была создана теории меры, благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительного переменного[⇨]. Также в начале XX века начал формироваться функциональный анализ как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий топологические векторные пространства и их отображения[⇨]. Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар, обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — Вольтерра, Арцела). В 1900 году Фредгольм публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений[⇨], развития общей теории интегрирования (Лебег), так и формирования функционального анализа[2]. В 1906 году в работе Гильберта очерчена спектральная теория, в том же году опубликована работа Фреше, в которой впервые в анализ введены абстрактные метрические пространства[3]. В 1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены общетопологические методы к анализу (Хаусдорф), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории нормированных пространств (Гильберт, Рис, Банах, Хан). В период 1929—1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств (фон Нейман, Стоун?!, Рис). В 1936 году Соболевым сформулировано понятие обобщённое функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл Лоран Шварц), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является -функция Дирака). В 1930-е — 1940-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения общеалгебраические инструментов (векторные решётки, операторные алгебры, банаховы алгебры).

К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как теория динамических систем и эргодическая теория (Джордж Биркгоф, Колмогоров, фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств — топологических групп и представлений (Вейль, Петер[en], Понтрягин). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ Пуанкаре и благодаря полученным результатам в дифференциальной геометрии, выделился в самостоятельное направление анализ на многообразиях — глобальный анализ[⇨]. Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в вычислительной математике и экономике (линейное программирование), в трудах Понтрягина и учеников в 1950-е годы создана теория оптимального управления.

Начиная со второй половины XX века с развитием дифференциальной топологии к анализу примкнуло новое направление — анализ на многообразиях, получившее название «глобальный анализ»[⇨]. К этому направлению можно отнести и теории бифуркаций и катастроф, созданные в трудах Уитни (1955), Тома (1959), Мазера?! (1965) и получившие в 1970-е годы развитие в работах Зимана?! (англ. Christopher Zeeman) и Арнольда.

В начале 1960-х годов Робинсоном создан нестандартный анализ[⇨] — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария теории моделей. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, бесконечно больших и бесконечно малых величин), то с разработкой в конце 1970-х годов Нельсоном (англ. Edward Nelson) теории внутренних множеств[en] и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам[4]. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами[5]. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие метода форсинга (созданного Коэном для доказательства неразрешимости в ZFC континуум-гипотезы) в работах Соловея, Скотта и Вопенки (чеш. Petr Vopěnka) разработана теория булевозначных моделей[en], на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ[6].

Классический математический анализ

Классический математический анализ — раздел, фактически полностью соответствующий историческому «анализу бесконечно малых», состоит из двух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений. Основные понятия — предел функции, дифференциал, производная, интеграл.

Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этот классический раздел, при этом он используется в основном в учебных программах и материалах. При этом изучение основ анализа входит в большинство среднеобразовательных программ, а более или менее полное изучение предмета включено в программы первых лет высшего образования для широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. В англо-американской образовательной традиции для обозначения классического математического анализа используется термин «исчисление» (англ. calculus).

Теория функций вещественного переменного

Теория функций вещественного переменного (иногда именуется кратко — теория функций) возникла вследствие формализации понятий вещественного числа и функции[7]: если в классических разделах анализа рассматривались только функции, возникающие в конкретных задачах, естественным образом, то в теории функций сами функции становятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения их свойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функций вещественного переменного[8] — факт, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке (притом согласно более ранним представлениям классического математического анализа дифференцируемость всех непрерывных функций не подвергалась сомнению).

Основные направления теории функций вещественного переменного[9]:

Теория функций комплексного переменного

Предмет изучения теории функций комплексного переменного — числовые функции, определённые на комплексной плоскости или комплексном евклидовом пространстве , при этом наиболее тщательно изучены аналитические функции, играющие важную связующую роль практически для всех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитической функции обобщено для произвольных банаховых пространств, тем самым многие результаты теории функций комплексного переменного нашли обобщение в функциональном анализе.

Функциональный анализ

Вариационное исчисление

Гармонический анализ

Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для гармонических функций и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории тригонометрических рядов, преобразований Фурье, почти периодических функций?!, рядов Дирихле[11].

В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара и представления групп[12]. Важнейший результат коммутативного гармонического анализа — теорема Понтрягина о двойственности, благодаря которой относительно простыми общеалгебраическими средствами описываются практически все классические результаты гармонического анализа. Дальнейшее развитие теории — некоммутативный гармонический анализ, имеющий важные приложения в квантовой механике.

Дифференциальные и интегральные уравнения

В связи с дифференциальными уравнениями в анализе выделяется два основных направления — теория обыкновенных дифференциальных уравнений и теория дифференциальных уравнений в частных производных (в учебных материалах и некоторых классификациях фигурирующая как «уравнения математической физики», так как исследование такого класса уравнений составляет основное наполнение математической физики).

В теории интегральных уравнений, кроме классических методов решения, выделяются такие направления, как теория Фредгольма, оказавшая заметное влияние на формирование функционального анализа как самостоятельного раздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертова пространства.

Теория динамических систем и эргодическая теория

Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились теория динамических систем, изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическая теория, нацеленная на обоснование статистической физики. Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематемического значения, в частности, таковы понятия устойчивости и эргодичности.

Глобальный анализ

Нестандартный анализ

Нестандартный анализ — формализация ключевых понятий анализа средствами математической логики, основная идея — формальная актуализация бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическая формализация манипуляций с ними. При этом, средства нестандартного анализа оказываются весьма удобными, притом что ими получены ранее не найденные из-за недостатка наглядности результаты классического математического анализа[5].

Нестандартный анализ разбивается на два направления: семантическое, использующее на теоретико-модельные инструменты и синтаксическое, использующие разного рода расширения стандартной теории множеств. Семантическое направление базируется на локальной теореме Мальцева, позволяющей переносить свойства с локальных частей моделей на всю модель[13]. Существует крупная самостоятельная ветвь семантического направления нестандартного анализа — булевозначный анализ, конструирующийся вокруг понятия булевозначной модели[en][14]. Синтаксическое направление основывается на теории внутренних множеств[en], ключевой идеей которого является введение понятия нестандартных элементов и предиката стандартности, и аксиоматизация присущих им свойств. Другой вариант синтаксической формализации — альтернативная теория множеств[en][15].

Приложения

Примечания

  1. Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров, с. 55.
  2. Дьёдонне, 1981, §1. Fredholm's discovery, p. 97.
  3. Дьёдонне, 1981, Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space, p. 97.
  4. Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, …нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами, с. viii.
  5. 1 2 Анализ (раздел математики) — статья из Математической энциклопедииДрагалин А. Г. С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа
  6. А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Введение в булевозначный анализ. — М.: Наука, 2005. — 526 с. — ISBN 5-02-033710-2.
  7. БСЭ, Математика, 1978, В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного.
  8. БСЭ, Математика, 1978, для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке).
  9. Теория функций // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  10. Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров), с. 56.
  11. Гармонический анализ — статья из Математической энциклопедии. Е. М. Никитин
  12. Гармонический анализ абстрактный — статья из Математической энциклопедии. Е. А. Горин, А. И. Штерн
  13. Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя её как результат "основополагающего значения для нашей теории», с. 11.
  14. Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, с. xii.
  15. П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.

Литература