Анализ (раздел математики): различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Bezik (обсуждение | вклад) добавления по истории |
Bezik (обсуждение | вклад) ещё немного по истории |
||
Строка 10: | Строка 10: | ||
В начале XX века в основном силами французской математической школы ([[Жордан, Мари Энмон Камиль|Жордан]], [[Борель, Эмиль|Борель]], [[Лебег, Николя|Лебег]], [[Бэр, Рене-Луи|Бэр]]) была создана [[Мера множества|теории меры]], благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительного переменного{{Переход|#Теория функций действительного переменного}}. Также в начале XX века начал формироваться [[функциональный анализ]] как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий [[Топологическое векторное пространство|топологические векторные пространства]] и их отображения{{Переход|#Функциональный анализ}}. Термин «функциональный анализ» ввёл [[Адамар, Жак|Адамар]], обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — [[Вольтерра, Вито|Вольтерра]], [[Арцела, Чезаре|Арцела]]). В [[1900 год в науке|1900 году]] [[Фредгольм, Эрик Ивар|Фредгольм]] публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений{{Переход|#Теория интегральных уравнений}}, развития общей теории интегрирования ([[Лебег, Николя|Лебег]]), так и формирования функционального анализа{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=§1. Fredholm's discovery}}. В [[1906 год в науке|1906 году]] в работе Гильберта очерчена [[спектральная теория]], в том же году опубликована работа [[Фреше, Морис Рене|Фреше]], в которой впервые в анализ введены абстрактные [[Метрическое пространство|метрические пространства]]{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space}}. В 1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены [[Общая топология|общетопологические]] методы к анализу ([[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорф]]), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории [[Нормированное пространство|нормированных пространств]] (Гильберт, [[Рис, Фридьеш|Рис]], [[Банах, Стефан|Банах]], [[Хан, Ханс|Хан]]). В период 1929—1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств ([[Нейман, Джон фон|фон Нейман]], {{iw|Стоун, Маршалл|Стоун|en|Marshall Harvey Stone}}, Рис). В 1936 году [[Соболев, Сергей Львович|Соболевым]] сформулировано понятие обобщённое функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл [[Шварц, Лоран|Лоран Шварц]]), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является [[Дельта-функция|<math>\delta</math>-функция Дирака]]). В 1930-е — 1940-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения [[Общая алгебра|общеалгебраические]] инструментов ([[векторная решётка|векторные решётки]], [[Операторная алгебра|операторные алгебры]], [[Банахова алгебра|банаховы алгебры]]). |
В начале XX века в основном силами французской математической школы ([[Жордан, Мари Энмон Камиль|Жордан]], [[Борель, Эмиль|Борель]], [[Лебег, Николя|Лебег]], [[Бэр, Рене-Луи|Бэр]]) была создана [[Мера множества|теории меры]], благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительного переменного{{Переход|#Теория функций действительного переменного}}. Также в начале XX века начал формироваться [[функциональный анализ]] как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий [[Топологическое векторное пространство|топологические векторные пространства]] и их отображения{{Переход|#Функциональный анализ}}. Термин «функциональный анализ» ввёл [[Адамар, Жак|Адамар]], обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — [[Вольтерра, Вито|Вольтерра]], [[Арцела, Чезаре|Арцела]]). В [[1900 год в науке|1900 году]] [[Фредгольм, Эрик Ивар|Фредгольм]] публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений{{Переход|#Теория интегральных уравнений}}, развития общей теории интегрирования ([[Лебег, Николя|Лебег]]), так и формирования функционального анализа{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=§1. Fredholm's discovery}}. В [[1906 год в науке|1906 году]] в работе Гильберта очерчена [[спектральная теория]], в том же году опубликована работа [[Фреше, Морис Рене|Фреше]], в которой впервые в анализ введены абстрактные [[Метрическое пространство|метрические пространства]]{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space}}. В 1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены [[Общая топология|общетопологические]] методы к анализу ([[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорф]]), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории [[Нормированное пространство|нормированных пространств]] (Гильберт, [[Рис, Фридьеш|Рис]], [[Банах, Стефан|Банах]], [[Хан, Ханс|Хан]]). В период 1929—1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств ([[Нейман, Джон фон|фон Нейман]], {{iw|Стоун, Маршалл|Стоун|en|Marshall Harvey Stone}}, Рис). В 1936 году [[Соболев, Сергей Львович|Соболевым]] сформулировано понятие обобщённое функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл [[Шварц, Лоран|Лоран Шварц]]), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является [[Дельта-функция|<math>\delta</math>-функция Дирака]]). В 1930-е — 1940-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения [[Общая алгебра|общеалгебраические]] инструментов ([[векторная решётка|векторные решётки]], [[Операторная алгебра|операторные алгебры]], [[Банахова алгебра|банаховы алгебры]]). |
||
К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как [[теория динамических систем]] и [[эргодическая теория]] ([[Биркгоф, Джордж Дэвид|Джордж Биркгоф]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров]], фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа ([[Вейль, Герман|Вейль]], {{iw|Петер, Фриц|Петер|en|Fritz Peter}}, [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин]]). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] и благодаря полученным результатам в [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной геометрии]], выделился в самостоятельное направление анализ на [[Многообразие|многообразиях]] — глобальный анализ{{Переход|#Глобальный анализ}}. Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах [[Канторович, Леонид Витальевич|Канторовича]] 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в [[Вычислительная математика|вычислительной математике]] и [[Экономика|экономике]] ([[линейное программирование]]), в трудах [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягина]] и учеников в 1950-е годы создана [[теория оптимального управления]]. |
К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как [[теория динамических систем]] и [[эргодическая теория]] ([[Биркгоф, Джордж Дэвид|Джордж Биркгоф]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров]], фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств — [[Топологическая группа|топологических групп]] и [[Представление группы|представлений]] ([[Вейль, Герман|Вейль]], {{iw|Петер, Фриц (математик)|Петер|en|Fritz Peter}}, [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин]]). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] и благодаря полученным результатам в [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной геометрии]], выделился в самостоятельное направление анализ на [[Многообразие|многообразиях]] — глобальный анализ{{Переход|#Глобальный анализ}}. Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах [[Канторович, Леонид Витальевич|Канторовича]] 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в [[Вычислительная математика|вычислительной математике]] и [[Экономика|экономике]] ([[линейное программирование]]), в трудах [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягина]] и учеников в 1950-е годы создана [[теория оптимального управления]]. |
||
Начиная со второй половины XX века с развитием [[Дифференциальная топология|дифференциальной топологии]] к анализу примкнуло новое направление — анализ на [[Многообразие|многообразиях]], получившее название «глобальный анализ»{{Переход|#Глобальный анализ}}. К этому направлению можно отнести и теории [[теория бифуркаций|бифуркаций]] и [[Теория катастроф|катастроф]], созданные в трудах [[Уитни, Хасслер|Уитни]] ([[1955 год в науке|1955]]), [[Том, Рене|Тома]] ([[1959 год в науке|1959]]), {{iw|Мазер, Джон|Мазера|en|John Mather (mathematician)}} ([[1965 год в науке|1965]]) и получившие в 1970-е годы развитие в работах {{нп2|Зиман, Кристофер|Зимана|en|Christopher Zeeman}} и [[Арнольд, Владимир Игоревич|Арнольда]]. |
|||
В начале 1960-х годов [[Робинсон, Абрахам|Робинсоном]] создан [[нестандартный анализ]]{{Переход|#Нестандартный анализ}} — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария [[Теория моделей|теории моделей]]. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, [[Бесконечно малые и бесконечно большие величины|бесконечно больших и бесконечно малых величин]]), то с разработкой в конце 1970-х годов {{нп2|Нельсон, Эдвард|Нельсоном|en|Edward Nelson}} {{iw|Теория внутренних множеств|теории внутренних множеств|en|Internal set theory}} и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=viii|loc=…нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами}}. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами<ref name="dragalin">{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|ссылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3463/|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие [[метод форсинга|метода форсинга]] (созданного [[Коэн, Пол Джозеф|Коэном]] для доказательства неразрешимости в [[ZFC]] [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезы]]) в работах [[Соловей, Роберт|Соловея]], [[Скотт, Дана|Скотта]] и {{нп2|Вопенка, Петр|Вопенки|cs|Petr Vopěnka}} разработана теория {{iw|Булевозначная модель|булевозначных моделей|en|Boolean-valued model}}, на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ<ref>{{книга |
В начале 1960-х годов [[Робинсон, Абрахам|Робинсоном]] создан [[нестандартный анализ]]{{Переход|#Нестандартный анализ}} — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария [[Теория моделей|теории моделей]]. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, [[Бесконечно малые и бесконечно большие величины|бесконечно больших и бесконечно малых величин]]), то с разработкой в конце 1970-х годов {{нп2|Нельсон, Эдвард|Нельсоном|en|Edward Nelson}} {{iw|Теория внутренних множеств|теории внутренних множеств|en|Internal set theory}} и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=viii|loc=…нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами}}. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами<ref name="dragalin">{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|ссылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3463/|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие [[метод форсинга|метода форсинга]] (созданного [[Коэн, Пол Джозеф|Коэном]] для доказательства неразрешимости в [[ZFC]] [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезы]]) в работах [[Соловей, Роберт|Соловея]], [[Скотт, Дана|Скотта]] и {{нп2|Вопенка, Петр|Вопенки|cs|Petr Vopěnka}} разработана теория {{iw|Булевозначная модель|булевозначных моделей|en|Boolean-valued model}}, на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ<ref>{{книга |
||
Строка 57: | Строка 59: | ||
== Гармонический анализ == |
== Гармонический анализ == |
||
{{main|Гармонический анализ}} |
{{main|Гармонический анализ}} |
||
Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для [[Гармоническая функция|гармонических функций]] и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории [[Тригонометрический ряд|тригонометрических рядов]], [[Преобразование Фурье|преобразований Фурье]], {{iw|Почти периодическая функция|почти периодических функций|en|Almost periodic function}}, [[Ряд Дирихле|рядов Дирихле]]<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/993/|заглавие=Гармонический анализ|автор=Е. М. Никитин}}</ref>. |
Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для [[Гармоническая функция|гармонических функций]] и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории [[Тригонометрический ряд|тригонометрических рядов]], [[Преобразование Фурье|преобразований Фурье]], {{iw|Почти периодическая функция|почти периодических функций|en|Almost periodic function}}, [[Ряд Дирихле|рядов Дирихле]]<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/993/|заглавие=Гармонический анализ|автор=Е. М. Никитин}}</ref>. |
||
В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как [[мера Хаара]] и [[Представление группы|представления групп]]<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/994/|заглавие=Гармонический анализ абстрактный|автор=Е. А. Горин, А. И. Штерн}}</ref>. Важнейший результат коммутативного гармонического анализа — [[Двойственность Понтрягина|теорема Понтрягина о двойственности]], благодаря которой относительно простыми общеалгебраическими средствами описываются практически все классические результаты гармонического анализа. Дальнейшее развитие теории — некоммутативный гармонический анализ, имеющий важные приложения в [[Квантовая механика|квантовой механике]]. |
|||
== Дифференциальные и интегральные уравнения == |
== Дифференциальные и интегральные уравнения == |
Версия от 01:11, 3 августа 2014
Анализ как современный раздел математики — значительная часть математики, исторически выросшая из классического математического анализа , и охватывающая, кроме дифференциального и интегрального исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественного и комплексного переменного, теории дифференциальных и интегральных уравнений , вариационное исчисление , гармонический анализ , функциональный анализ , теория динамических систем и эргодическая теория , глобальный анализ . Нестандартный анализ — раздел на стыке математической логики и анализа, применяющий методы теории моделей для альтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.
Считается одним из трёх основных направлений математики, наряду с алгеброй и геометрией. Основной отличительный признак анализа в сравнении с другими направлениями — наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, дифференциальной геометрии и топологии.
История
Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теория обыкновенных дифференциальных уравнений (Эйлер, Иоганн Бернулли, Д’Аламбер), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж), теория аналитических функций (Лагранж, Коши, впоследствии — Риман), начали обособляться ещё в XVIII — первой половине XIX века. Однако началом формирования анализа как самостоятельного современного раздела считаются труды середины XIX века по формализации ключевых понятий классического анализа — вещественного числа, функции, предела, интеграла, прежде всего, в трудах Коши и Больцано, и приобретшие законченную форму к 1870-м — 1880-м годам в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора[1]. В этой связи сформировались теория функций вещественного переменного и, в развитии методов работы с аналитическими функциями, — теория функций комплексного переменного. Созданная Кантором в конце XIX века наивная теория множеств дала толчок к появлению понятий метрического и топологического пространств, что в значительной мере изменило весь инструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов и переместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.
В начале XX века в основном силами французской математической школы (Жордан, Борель, Лебег, Бэр) была создана теории меры, благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительного переменного . Также в начале XX века начал формироваться функциональный анализ как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий топологические векторные пространства и их отображения . Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар, обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — Вольтерра, Арцела). В 1900 году Фредгольм публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений , развития общей теории интегрирования (Лебег), так и формирования функционального анализа[2]. В 1906 году в работе Гильберта очерчена спектральная теория, в том же году опубликована работа Фреше, в которой впервые в анализ введены абстрактные метрические пространства[3]. В 1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены общетопологические методы к анализу (Хаусдорф), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории нормированных пространств (Гильберт, Рис, Банах, Хан). В период 1929—1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств (фон Нейман, Стоун?!, Рис). В 1936 году Соболевым сформулировано понятие обобщённое функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл Лоран Шварц), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является -функция Дирака). В 1930-е — 1940-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения общеалгебраические инструментов (векторные решётки, операторные алгебры, банаховы алгебры).
К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как теория динамических систем и эргодическая теория (Джордж Биркгоф, Колмогоров, фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств — топологических групп и представлений (Вейль, Петер , Понтрягин). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ Пуанкаре и благодаря полученным результатам в дифференциальной геометрии, выделился в самостоятельное направление анализ на многообразиях — глобальный анализ . Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в вычислительной математике и экономике (линейное программирование), в трудах Понтрягина и учеников в 1950-е годы создана теория оптимального управления.
Начиная со второй половины XX века с развитием дифференциальной топологии к анализу примкнуло новое направление — анализ на многообразиях, получившее название «глобальный анализ» . К этому направлению можно отнести и теории бифуркаций и катастроф, созданные в трудах Уитни (1955), Тома (1959), Мазера?! (1965) и получившие в 1970-е годы развитие в работах Зимана?! (англ. Christopher Zeeman) и Арнольда.
В начале 1960-х годов Робинсоном создан нестандартный анализ — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария теории моделей. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, бесконечно больших и бесконечно малых величин), то с разработкой в конце 1970-х годов Нельсоном (англ. Edward Nelson) теории внутренних множеств и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам[4]. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами[5]. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие метода форсинга (созданного Коэном для доказательства неразрешимости в ZFC континуум-гипотезы) в работах Соловея, Скотта и Вопенки (чеш. Petr Vopěnka) разработана теория булевозначных моделей , на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ[6].
Классический математический анализ
Классический математический анализ — раздел, фактически полностью соответствующий историческому «анализу бесконечно малых», состоит из двух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений. Основные понятия — предел функции, дифференциал, производная, интеграл.
Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этот классический раздел, при этом он используется в основном в учебных программах и материалах. При этом изучение основ анализа входит в большинство среднеобразовательных программ, а более или менее полное изучение предмета включено в программы первых лет высшего образования для широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. В англо-американской образовательной традиции для обозначения классического математического анализа используется термин «исчисление» (англ. calculus).
Теория функций вещественного переменного
Теория функций вещественного переменного (иногда именуется кратко — теория функций) возникла вследствие формализации понятий вещественного числа и функции[7]: если в классических разделах анализа рассматривались только функции, возникающие в конкретных задачах, естественным образом, то в теории функций сами функции становятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения их свойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функций вещественного переменного[8] — факт, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке (притом согласно более ранним представлениям классического математического анализа дифференцируемость всех непрерывных функций не подвергалась сомнению).
Основные направления теории функций вещественного переменного[9]:
- теория меры, в качестве основного инструмента использует понятия меры множества и измеримой функции, на основе которых вводятся более общими способами, чем в классическом анализе, и исследуются интегрирование и дифференцирование, особым образом вводится понятие сходимости, изучается достаточно широкий класс разрывных функций;
- дескриптивная теория функций вещественного переменного, изучающая классификации функций средствами дескриптивной теории множеств (основной результат — классы Бэра);
- конструктивная теория функций, исследующая задачи приближения и интерполяции функций вещественного переменного (развитая в трудах Чебышёва и Бернштейна[10].
Теория функций комплексного переменного
Предмет изучения теории функций комплексного переменного — числовые функции, определённые на комплексной плоскости или комплексном евклидовом пространстве , при этом наиболее тщательно изучены аналитические функции, играющие важную связующую роль практически для всех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитической функции обобщено для произвольных банаховых пространств, тем самым многие результаты теории функций комплексного переменного нашли обобщение в функциональном анализе.
Функциональный анализ
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Вариационное исчисление
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Гармонический анализ
Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для гармонических функций и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории тригонометрических рядов, преобразований Фурье, почти периодических функций?!, рядов Дирихле[11].
В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара и представления групп[12]. Важнейший результат коммутативного гармонического анализа — теорема Понтрягина о двойственности, благодаря которой относительно простыми общеалгебраическими средствами описываются практически все классические результаты гармонического анализа. Дальнейшее развитие теории — некоммутативный гармонический анализ, имеющий важные приложения в квантовой механике.
Дифференциальные и интегральные уравнения
В связи с дифференциальными уравнениями в анализе выделяется два основных направления — теория обыкновенных дифференциальных уравнений и теория дифференциальных уравнений в частных производных (в учебных материалах и некоторых классификациях фигурирующая как «уравнения математической физики», так как исследование такого класса уравнений составляет основное наполнение математической физики).
В теории интегральных уравнений, кроме классических методов решения, выделяются такие направления, как теория Фредгольма, оказавшая заметное влияние на формирование функционального анализа как самостоятельного раздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертова пространства.
Теория динамических систем и эргодическая теория
Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились теория динамических систем, изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическая теория, нацеленная на обоснование статистической физики. Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематемического значения, в частности, таковы понятия устойчивости и эргодичности.
Глобальный анализ
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Нестандартный анализ
Нестандартный анализ — формализация ключевых понятий анализа средствами математической логики, основная идея — формальная актуализация бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическая формализация манипуляций с ними. При этом, средства нестандартного анализа оказываются весьма удобными, притом что ими получены ранее не найденные из-за недостатка наглядности результаты классического математического анализа[5].
Нестандартный анализ разбивается на два направления: семантическое, использующее на теоретико-модельные инструменты и синтаксическое, использующие разного рода расширения стандартной теории множеств. Семантическое направление базируется на локальной теореме Мальцева, позволяющей переносить свойства с локальных частей моделей на всю модель[13]. Существует крупная самостоятельная ветвь семантического направления нестандартного анализа — булевозначный анализ, конструирующийся вокруг понятия булевозначной модели[14]. Синтаксическое направление основывается на теории внутренних множеств , ключевой идеей которого является введение понятия нестандартных элементов и предиката стандартности, и аксиоматизация присущих им свойств. Другой вариант синтаксической формализации — альтернативная теория множеств[15].
Приложения
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Примечания
- ↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров, с. 55.
- ↑ Дьёдонне, 1981, §1. Fredholm's discovery, p. 97.
- ↑ Дьёдонне, 1981, Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space, p. 97.
- ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, …нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами, с. viii.
- ↑ 1 2 Анализ (раздел математики) — статья из Математической энциклопедии. Драгалин А. Г. С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа
- ↑ А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Введение в булевозначный анализ. — М.: Наука, 2005. — 526 с. — ISBN 5-02-033710-2.
- ↑ БСЭ, Математика, 1978, В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного.
- ↑ БСЭ, Математика, 1978, для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке).
- ↑ Теория функций // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров), с. 56.
- ↑ Гармонический анализ — статья из Математической энциклопедии. Е. М. Никитин
- ↑ Гармонический анализ абстрактный — статья из Математической энциклопедии. Е. А. Горин, А. И. Штерн
- ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя её как результат "основополагающего значения для нашей теории», с. 11.
- ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, с. xii.
- ↑ П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.
Литература
- Математика, её содержание, методы и значение / А. Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лавреньтев. — М.: Издательство Академии наук СССР, 1956. — Т. 1. — 296 с. — 7000 экз.
- Математика / А. Н. Колмогоров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ: избранные темы. — М.: Наука, 2011. — 398 с. — ISBN 978-5-02-036137-9.
- Dieudonné, J. History of Functional Analysis. — Amsterdam: North Holland, 1981. — 314 p. — (Notas de Matematica, vol. 77). — ISBN 0-444-84148-3.