|
|
Строка 16: |
Строка 16: |
|
: <math> \alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A}, </math> |
|
: <math> \alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A}, </math> |
|
: <math> \beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A}, </math> |
|
: <math> \beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A}, </math> |
|
: <math> \gamma = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {B^2 C \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}, </math> |
|
: <math> \gamma = -{3 B^4 \over 256 A^4} + {B^2 C \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}, </math> |
|
:: если <math>\beta=0</math>, тогда, решив <math>u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0</math> и, сделав подстановку <math>x=u-{B\over 4A}</math>, найдём корни: |
|
:: если <math>\beta=0</math>, тогда, решив <math>u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0</math> и, сделав подстановку <math>x=u-{B\over 4A}</math>, найдём корни: |
|
::: <math>x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0</math>. |
|
::: <math>x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0</math>. |
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени.
Описание метода
Пусть уравнение 4-й степени имеет вид
.
|
(1)
|
Если — произвольный корень кубического уравнения
|
(2)
|
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
-
- если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- .
- , (любой знак квадратного корня подойдёт)
- , (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
-
- Два ±s - один и тот же знак при нахождении конкретного x, при этом ±t будет другим или тем же. Все корни x можно найти при всех четырёх комбинациях знаков ±s и ±t: "+,+"; "+,−"; "−,+" и "−,−". Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.
Вывод
Пусть имеется уравнение вида:
Обозначим корни уравнения как .
В канонической форме будет выполняться соотношение
Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как:
Причём W,V –действительные числа.
Выразим a через корни уравнения
Выразим К через остальные коэффициенты:
или
Итого
Или
Отсюда
Заменяя получаем резольвенту, решив которую , находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано и быстро обнаружил выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге "Высокое искусство".
См. также
Ссылки