Совершенный кубоид: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
'''Совершенный кубоид'''<ref>{{MathWorld |urlname=PerfectCuboid |title=Perfect Cuboid}}</ref> (или '''целочисленный кирпич''')  — [[прямоугольный параллелепипед]], у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, совершенный кубоид  — целочисленное решение системы [[диофантовы уравнения|диофантовых уравнений]]
 
: <math>a^2 + b^2 = d^2\,</math>
: <math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2\,</math>
 
До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·10<sup>12</sup>.<ref>Bill Butler, [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html The “Integer«Integer Brick”Brick» Problem]</ref> Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:
* <math>(672, 153, 104)\,</math>  — одна из лицевых диагоналей нецелая.
* <math>(18720, \sqrt{211773121}, 7800)</math>, <math>(520, 576, \sqrt{618849})</math>  — одно из рёбер нецелое.
* Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
* Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла<ref>J. F. Sawyer, C. A. Reiter, ''[http://www.ams.org/journals/mcom/2011-80-274/S0025-5718-2010-02400-7/ Perfect parallelepipeds exist]'', Math. Comp. '''80'''(2011), No. 274, P. 1037-10401037—1040</ref><ref>B. D. Sokolowsky, A. G. VanHooft, R. M. Volkert, C. A. Reiter, ''[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-289/S0025-5718-2013-02791-3/ An infinite family of perfect parallelepipeds]'', Math. Comp. '''83'''(2014), No. 289, P. 2441-24542441—2454</ref><ref>W. Wyss, ''On Perfect Cuboids'', [http://arxiv.org/abs/1506.02215v2 arXiv:1506.02215v2] [math.NT] 27 Jun 2015</ref>.
 
В [[2005 год]]у [[Тбилиси|тбилисский]] школьник Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует  — однако на [[2012 год]] работа так и не прошла проверку независимыми учёными<ref>Lasha Margishvili ''"«The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)"»'': [http://groups.google.com/group/sci.math/msg/f8035dd5d558201a part 1], [http://groups.google.com/group/sci.math/msg/8828c636b651fb76 part 2]</ref><ref>[http://web.archive.org/web/20061126183733/http://www.mualphatheta.org/Science_Fair/Science_Fair_Winners.html Mu Alpha Theta]</ref>. В 2012 году учитель Лаши Маргишвили, директор Грузинско-Американского лицея Мамука Месхешвили опубликовал статью<ref>M. Meskhishvili, ''Perfect Cuboid and Congruent Number Equation Solutions'', [http://arxiv.org/abs/1211.6548v1 arXiv:1211.6548v1] [math.NT] 28 Nov 2012</ref> , в которой называет гипотезу о несуществовании совершенных кубоидов недоказанной.
 
'''Рациональный кубоид''' - — это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путем умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного кубоида.
 
== Эйлеров параллелепипед ==
 
Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов  — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:
 
* (275, 252, 240),
 
Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)<ref name="f2">[http://f2.org/maths/peb.html Primitive Euler Bricks<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>:
* Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный  — то есть, [[Наибольший общий делитель|НОД]](a, b, c)=1).
* Одно ребро делится на 3 и ещё одно  — на 9.
* Одно ребро делится на 5.
* Одно ребро делится на 11.

Навигация