Гекзакисикосаэдр

Гекзакисикосаэдр
(Здесь можно посмотреть вращающуюся модель)
Тип	Полуправильный многогранник (каталаново тело)
Грань	разносторонний треугольник:
Граней	120
Рёбер	180
Вершин	62
Граней при вершинах	10 при 12 вершинах, 6 при 20 вершинах, 4 при 30 вершинах
Группа симметрии	Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник	Ромбоусечённый икосододекаэдр
Развёртка

Гекзакисикоса́эдр (от др.-греч. ἑξάκις — «шестижды», εἴκοσι — «двадцать» и ἕδρα — «грань»), также называемый дисдакистриаконта́эдром (от др.-греч. δίς — «дважды», δυάκις — «два раза», τριάκοντα — «тридцать» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому икосододекаэдру.

Составлен из 120 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами $\arccos {\frac {9+5{\sqrt {5}}}{24}}\approx 32,77^{\circ },$ $\arccos {\frac {15-2{\sqrt {5}}}{20}}\approx 58,24^{\circ }$ и $\arccos {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{30}}\approx 88,99^{\circ }.$

Имеет 62 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 30 вершинах (расположенных так же, как вершины икосододекаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.

У гекзакисикосаэдра 180 рёбер — 60 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромботриаконтаэдра), 60 «средних» и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \left(-{\frac {179+24{\sqrt {5}}}{241}}\right)\approx 164,89^{\circ }.$

Гекзакисикосаэдр можно получить из ромботриаконтаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромботриаконтаэдра, и высотой, которая в $2{\sqrt {17+{\frac {31{\sqrt {5}}}{5}}}}\approx 11,11$ раз меньше стороны основания.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра гекзакисикосаэдра имеют длину $a$, то его «средние» рёбра имеют длину ${\frac {3}{10}}(3+{\sqrt {5}})a\approx 1,57a,$ а «длинные» рёбра — длину ${\frac {1}{5}}(7+{\sqrt {5}})a\approx 1,85a.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S={\frac {3}{5}}{\sqrt {10\left(1257+541{\sqrt {5}}\right)}}\;a^{2}\approx 94,2346327a^{2},$

$V={\frac {1}{5}}{\sqrt {6\left(14765+6602{\sqrt {5}}\right)}}\;a^{3}\approx 84,1819754a^{3}.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r={\sqrt {{\frac {3}{4820}}\left(5795+2569{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 2,6799693a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho ={\frac {1}{20}}\left(25+13{\sqrt {5}}\right)a\approx 2,7034442a.$

Описать около гекзакисикосаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Гекзакисикосаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.