Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа называют сопряженным пространством <math>V^*</math>. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом <math>g^i</math>. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда применяя правило Эйнштейна можем записать: <math>f=f_ig^i</math>, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел <math>f_i</math>, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).
 
Выберем базис в сопряженном пространстве так, что <math>g^i(x)=x^i</math>, то есть эти функционалы находят <math>i</math>-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор <math>e_i</math>). Такой базис называют ''дуальным'' (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть <math>g'^i(x)=x'^i=T^i_jx^j=T^i_jg^j(x)</math>. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала <math>f_i</math> будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы <math>T^{-1}=S</math>. Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют '''''ковариантностью'''''. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ''ковариантными векторами'' или кратко — '''''ковекторами'''''. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса — они преобразуются так как базис, в отличие от контрвариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Для идентификации ковекторов используется нижний индекс, в отличие от обычных (контравариантных) векторов. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку». Для идентификации ковекторов используется нижний, или ''ковариантный'' индекс.
 
=== Контравариантность и ковариантность тензоров ===
Анонимный участник

Навигация