Двойственное пространство: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Строка 7: | Строка 7: | ||
В [[тензорное исчисление|тензорном исчислении]] применяется обозначение <math>x^k</math> для элементов <math>E</math> (верхний, или ''контравариантный'' индекс) и <math>x_k</math> для элементов <math>E^*</math> (нижний, или ''ковариантный'' индекс). |
В [[тензорное исчисление|тензорном исчислении]] применяется обозначение <math>x^k</math> для элементов <math>E</math> (верхний, или ''контравариантный'' индекс) и <math>x_k</math> для элементов <math>E^*</math> (нижний, или ''ковариантный'' индекс). |
||
Если линейное пространство <math>E</math> [[Нормированное пространство|нормированное]], то сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет естественную норму — это [[операторная норма]] непрерывных функционалов. |
|||
== Свойства == |
== Свойства == |
Версия от 08:47, 13 мая 2016
Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.
Определение
Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается . Множество всех линейных функционалов на , не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к , оно обычно обозначается .[1]
В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда линейное пространство конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на . В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда бесконечномерное, вообще говоря, .[2]
В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).
Если линейное пространство нормированное, то сопряжённое пространство имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов.
Свойства
Конечномерные пространства[3]
- Сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем . Следовательно, пространства и изоморфны.
- Каждому базису пространства можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис пространства , где функционал — проектор на вектор :
- Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между и существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением
- Второе сопряжённое пространство изоморфно . Более того, существует канонический изоморфизм между и (при этом не предполагается, что пространство евклидово), определённый соотношением
- Определенный выше канонический изоморфизм показывает, что пространства и играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для часто пишут подобно записи скалярного произведения.
Бесконечномерные пространства
- Если линейное пространство — нормированное, то сопряжённое пространство , снабжённое операторной нормой, — банахово[4][5].
- Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и , причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства [6].
Вариации и обобщения
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
- При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
См. также
Примечания
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965, стр. 147.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
- ↑ Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.
Литература
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |