Изогональное сопряжение: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
только в англовики дополнительно об этом ничего нет и источник не указан, а сама англовика не АИ
м Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.
Строка 1: Строка 1:
[[Файл:Isogonal Conjugate.svg|мини|Точки <math>P</math> и <math>P^*</math> изогонально сопряжены]]
[[Файл:Isogonal Conjugate.svg|мини|Точки <math>P</math> и <math>P^*</math> изогонально сопряжены]]
[[Файл:Isogonal_Conjugate_transform.svg|мини|Преобразование над точками внутри треугольника]]
[[Файл:Isogonal Conjugate transform.svg|мини|Преобразование над точками внутри треугольника]]
'''Изогона́льное сопряже́ние''' — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного [[треугольник]]а относительно [[Биссектриса|биссектрис]] углов треугольника.
'''Изогона́льное сопряже́ние''' — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного [[треугольник]]а относительно [[Биссектриса|биссектрис]] углов треугольника.


Строка 30: Строка 30:
}}</ref>.
}}</ref>.


=== Пары изогонально сопряженных линий ===
=== Пары изогонально сопряженных линий ===
* Образ прямой при ''изогональном сопряжении'' — [[коническое сечение|коника]], описанная около треугольника. В частности, ''изогонально сопряжены'' бесконечно удалённая прямая и [[описанная окружность]], [[прямая Эйлера]] и [[гипербола Енжабека]], [[ось Брокара]] и [[гипербола Киперта]], линия центров ''вписанной'' и ''описанной'' окружности и [[гипербола Фейербаха]].
* Образ прямой при ''изогональном сопряжении'' — [[коническое сечение|коника]], описанная около треугольника. В частности, ''изогонально сопряжены'' бесконечно удалённая прямая и [[описанная окружность]], [[прямая Эйлера]] и [[гипербола Енжабека]], [[ось Брокара]] и [[гипербола Киперта]], линия центров ''вписанной'' и ''описанной'' окружности и [[гипербола Фейербаха]].
* Если ''коника'' <math>\alpha</math> ''изогонально сопряжена'' прямой <math>l</math>, то [[Трилинейная поляра|трилинейные поляры]] всех точек на <math>\alpha</math> будут проходить через точку, ''изогонально сопряжённую'' трилинейному полюсу <math>l</math>.
* Если ''коника'' <math>\alpha</math> ''изогонально сопряжена'' прямой <math>l</math>, то [[Трилинейная поляра|трилинейные поляры]] всех точек на <math>\alpha</math> будут проходить через точку, ''изогонально сопряжённую'' трилинейному полюсу <math>l</math>.
Строка 46: Строка 46:
== Координатная запись ==
== Координатная запись ==
В [[Барицентрические координаты|барицентрических координатах]] изогональное сопряжение записывается как:
В [[Барицентрические координаты|барицентрических координатах]] изогональное сопряжение записывается как:
: <math>(x:y:z)\ \mapsto \left(\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z}\right)\,</math>,
: <math>(x:y:z)\ \mapsto \left(\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z}\right)</math>,
где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — длины сторон треугольника. В [[Трилинейные координаты|трилинейных координатах]] его запись имеет форму:
где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — длины сторон треугольника. В [[Трилинейные координаты|трилинейных координатах]] его запись имеет форму:
: <math>(x:y:z)\ \mapsto (\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z})</math>,
: <math>(x:y:z)\ \mapsto (\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z})</math>,
Строка 61: Строка 61:
== Примечания ==
== Примечания ==
{{примечания}}
{{примечания}}

== См. также ==
== См. также ==
* [[Изотомическое сопряжение]]
* [[Изотомическое сопряжение]]

[[Категория:Преобразования]]
[[Категория:Преобразования]]

Версия от 01:25, 26 июня 2016

Точки и изогонально сопряжены
Преобразование над точками внутри треугольника

Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника относительно биссектрис углов треугольника.

Определение

Точки и называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными[1]) в треугольнике , если , , . Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.

Свойства

  • Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
  • Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
  • Если точки , , симметричны точке относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности изогонально сопряжён точке .
  • Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.

Пары изогонально сопряженных линий

  • Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
  • Если коника изогонально сопряжена прямой , то трилинейные поляры всех точек на будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу .
  • Некоторые известные кубики, например, кубика Томпсона, кубика Дарбу, кубика Нейберга (Thompson cubic, Darboux cubic, Neuberg cubic) изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Пары изогонально сопряжённых точек

Координатная запись

В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как:

,

где , ,  — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму:

,

поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.

Вариации и обобщения

Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.

Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению[4].

Следствия

Примечания

  1. Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
  2. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
  3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
  4. Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях

См. также