Единичный квадрат: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Определение: (вольный перевод en:unit Square) |
|||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
Иными словами, единичный квадрат — это [[прямое произведение]] {{math|''I'' × ''I''}}, где {{mvar|I}} — [[единичный отрезок]] <math>[0;1]</math>. |
Иными словами, единичный квадрат — это [[прямое произведение]] {{math|''I'' × ''I''}}, где {{mvar|I}} — [[единичный отрезок]] <math>[0;1]</math>. |
||
В [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]] под едичным квадратом |
В [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]] под едичным квадратом подаразумевается квадрат с вершинами {{math|0}}, {{math|1}}, {{math|1 + ''i''}} и {{mvar|i}}. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
Версия от 00:44, 31 октября 2016
 | Эту статью предлагается удалить. |
Единичный квадрат — квадрат, сторной которого является единчиный отрезок. Площадь единичного квадрата является единицей измерения площади. Иногда требуют, чтобы в прямоугольных координатах левый нижний угол единичного квадрата находился бы в начале координат и его стороны были бы паралельны осям координат. В этом случае его вершины имеют координаты , , и .
Определения
Часто под единичным квадратом подаразумевается любой квадрат со стороной 1.
Если задана, прямоугольная система координат, то этот термин часто используют в более узком смысле: едичный квадрат — это множество точек, обе координаты которых (x и y) лежат между 0 и 1:
- .
Иными словами, единичный квадрат — это прямое произведение I × I, где I — единичный отрезок .
![{\displaystyle [0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3bf59a5da5d8181083b228c8933efbda133483)
В комплексной плоскости под едичным квадратом подаразумевается квадрат с вершинами 0, 1, 1 + i и i.
Свойства
- Площадь единичного квадрата равна 1, периметр — 4, диагональ — .
- Едичный квадрат является «кругом» диаметра 1 в смысле равномерной нормы (), то есть множество точек, которые расположены на расстоянии 1/2 в смысле равномерной нормы от центра с координатами (1/2,1/2), является единичным квадратом[1].
- Кантор доказал, что существует взаимнооднозначное соответствие между единичным отрезком и единичным квадратом. Этот факт настолько противоречит интуиции, что Кантор в 1877 году писал Дедекинду: «Я вижу это, но не верю»[2][3].
- Ещё более удивительный факт был открыт Пеано в 1890 году: оказывается существует непрерывное отображение отрезка на квадрат. Примером такого отображения является кривая Пеано, первый пример заполняющей пространство кривой. Кривая Пеано задаёт непрерывное отображение единичного отрезка на квадрат, так, что каждой точке квадрата, найдется соответствующая точка отрезка[4].
- Не существует взаимнооднозначного непрерывно отображения отрезка в квадрат. Кривая Пеано содержит кратные точки, то есть она проходит через некоторые точки квадрата более одного раза. Таким образом, кривая Пеано не задаёт взаимноодназначного соответствия. В действительности легко доказать, что отрезок не гомеоморфен квадрату, значит избежать кратных точек невозможно[5].
Открытая проблема
Не известно (на 2011 год) существет ли точка на плоскости, такая что расстояние до любой вершины единичного квадрата является рациональным числом. Однако известно, что такой точки не существует на ганице квадрата[6][7].
См. также
Примечания
- ↑ Athanasios C. Antoulas. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. — SIAM, 2009-06-25. — С. 29. — 489 с. — ISBN 9780898716580.
- ↑ Сергей Деменок. Фрактал: между мифом и ремеслом. — Litres, 2016-06-08. — С. 156. — 298 с. — ISBN 9785040137091.
- ↑ Michael J. Bradley. The Foundations of Mathematics: 1800 to 1900. — Infobase Publishing, 2006. — С. 104-105. — 177 с. — ISBN 9780791097212.
- ↑ Сергей Сизый. Математические задачи. Студенческие олимпиады математико-механического факультета Уральского госуниверситета. — Litres, 2016-04-14. — С. 34. — 128 с. — ISBN 9785040047086.
- ↑ Александр Шень, Николай Верещагин. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. — Litres, 2015-11-13. — С. 19. — 113 с. — ISBN 9785457918795.
- ↑ Guy, Richard K. (1991), Unsolved Problems in Number Theory, Vol. 1 (2nd ed.), Springer-Verlag, pp. 181—185.
- ↑ Barbara, Roy (March 2011), "The rational distance problem", Mathematical Gazette, 95 (532): 59—61.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Unit Square (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.