Устойчивость (динамические системы)

В математиці, рішення диференціального рівняння (Або, ширше, траєкторія у фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по Ляпунову, асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

Постановка завдання стійкості динамічних систем

Нехай $\Omega$ — область простору $\mathbb {R} ^{n}$, що містить початок координат, $I=[\tau ;\infty )$, де $\tau \in \mathbb {R} ^{1}$. Розглянемо систему (1) виду:

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x),x\in \mathbb {R} ^{n},f:I\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}\\f(t,0)=0.\end{matrix}}\right.$

((1))

При будь-яких $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ існує єдине рішення x(t, t₀, x₀) системи (1), задовольняє початковим умовам x(t₀, t₀, x₀) = x₀. Будемо припускати, що рішення x(t, t₀, x₀) визначено на інтервалі $J^{+}=[t_{0};\infty )$, причому $J^{+}\subset I$.

Стійкість за Ляпуновим

тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-яких $t_{0}\in I$ і $\varepsilon >0$ існує $\delta >0$, залежне тільки від ε і t₀ і не залежить від t, таке, що для будь-якого x₀, для котрого $\|x_{0}\|<\delta$, рішення x системи з початковими умовами x(t₀) = x₀ триває на всю піввісь t > t₀ і задовольняє нерівності $\|x(t)\|<\varepsilon$.

Символічно це записується так:

$(\forall \varepsilon >0)(\forall t_{0}\in I)(\exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0)(\forall x_{0}\in B_{\delta (t_{0},\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )$

Рівномірна стійкість по Ляпунову

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким по Ляпунову, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta (\varepsilon )>0)(\forall t_{0}\in I)(\forall x_{0}\in B_{\delta (\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )$

Нестійкість по Ляпунову

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається нестійким по Ляпунову, якщо:

$(\exists \varepsilon >0)(\exists t_{0}\in I)(\forall \delta >0)(\exists x_{0}\in B_{\delta })(\exists t_{*}\geq t_{0},t_{*}\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|\geq \varepsilon )$

Асимптотична стійкість

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо воно стійко по Ляпунову і виконується умова $\lim _{t\to \infty }\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|=0$ для всякого x з початковою умовою x₀, лежачим в досить малій околиці нуля.

Еквіасимптотична стійкість

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягуєче.

Рівномірна асимптотична стійкість

Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпритягуєче.

Асимптотична стійкість в цілому

Тривіальне рішення x = 0 системы (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопрягуюче.

Рівномірна асимптотична стійкість в цілому

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно глобальнопритягуюче.

Див. також

• Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги

Література

• Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
• Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
• Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
• Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
• Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X..
• Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.