Точка Брокара

Точка Брокара $P$ треугольника $\triangle ABC$, построенная как точка пересечения трёх окружностей

Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника (в том числе, окружность Брокара, треугольник Брокара, окружность Нейберга (см. также Нойберг, Жозеф), окружности Схоуте). Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара, описавшего точки и их построение в 1875 году, однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора Августа Крелле, изданной в 1816 году.

Определение

В треугольнике $\triangle ABC$ со сторонами $a$, $b$, и $c$, противолежащими вершинам $A$, $B$ и $C$ соответственно, имеется всего одна точка $P$ такая, что отрезки прямых $AP$, $BP$ и $CP$ образуют один и тот же угол $\omega$ со сторонами $c$, $a$ и $b$ соответственно: $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Точка $P$ называется первой точкой Брокара треугольника $\triangle ABC$, а угол $\omega$ — углом Брокара треугольника.

Для угла Брокара $\omega$ выполняется следующее тождество: $\mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\angle BAC+\mathrm {ctg} \,\angle ABC+\mathrm {ctg} \,\angle ACB$. Для угла Брокара $\omega$ выполняется следующее неравенство Йиффа: $8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma$, где $\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB$ — углы искомого треугольника.

В треугольнике $\triangle ABC$ имеется также вторая точка Брокара $Q$, такая, что отрезки прямых $AQ$, $BQ$ и $CQ$ образуют один и тот же угол со сторонами $b$, $c$ и $a$ соответственно: $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$. Вторая точка Брокара изогонально сопряжена с первой точкой Брокара, то есть угол $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ равен углу $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$.

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом, различие между ними — в порядке, в котором нумеруются углы треугольника, так, например, первая точка Брокара треугольника $\triangle ABC$ совпадает со второй точкой Брокара треугольника $\triangle ACB$.

Построение

Наиболее известное построение точек Брокара — на пересечении окружностей, строящихся следующим образом: для $\triangle ABC$ проводится окружность через точки $A$ и $B$, касающаяся стороны $BC$ (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении серединного перпендикуляра к стороне $AB$ с прямой, проходящей через $B$ и перпендикулярной $BC$); аналогичным образом строится окружность через точки $B$ и $C$ и касающуюся стороны $AC$; третья окружность — через точки $A$ и $C$ и касающаяся стороны $AB$. Эти три окружности имеют общую точку пересечения, являющуюся первой точкой Брокара треугольника $\triangle ABC$. Вторая точка Брокара строится аналогично — строятся окружности: через $A$ и $B$, касающаяся $AC$; через $B$ и $C$, касающаяся $AB$; через $A$ и $C$, касающаяся $BC$.

Свойства

• Точки Брокара лежат на окружности Брокара - окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с точкой Лемуана. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара.
• Точки Брокара сопряжены изогонально.
• Барицентрические координаты: $\left({\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}:{\frac {1}{a^{2}}}\right)$ и $\left({\frac {1}{c^{2}}}:{\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}\right)$.

См. также

• Окружность Брокара
• Треугольник Брокара

Литература

• С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1940. — С. 81—89. — 96 с.
• Akopyan, A. V.; Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics, Mathematical World, vol. 26, American Mathematical Society, pp. 48—52, ISBN 978-0-8218-4323-9
• Honsberger, Ross (1995), "Chapter 10. The Brocard Points", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America