Точная верхняя и нижняя границы: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
м
Бот: замена устаревшего математического синтаксиса в соответствии с mw:Extension:Math/Roadmap
м (clean up, replaced: -ого → -го с помощью AWB)
м (Бот: замена устаревшего математического синтаксиса в соответствии с mw:Extension:Math/Roadmap)
Более формально:
: <math>S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}</math> — множество '''верхних граней''' <math>X</math>, то есть элементов <math>M</math>, равных или больших всех элементов <math>X</math>
: <math>s=\sup(X)\iff s\in S_X\andland\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.</math>
 
{{Якорь|Инфимум}}'''Точной (наибольшей) нижней гранью (границей)''', или '''и́нфимумом''' ({{lang-la|infimum}} — самый низкий) подмножества <math>X</math> [[линейно упорядоченное множество|упорядоченного множества]] (или [[Класс (математика)|класса]]) <math>M</math>, называется наибольший элемент <math>M</math>, который равен или меньше всех элементов [[множество|множества]] <math>X</math>. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается <math>\inf X</math>.
== Примеры ==
* На множестве всех [[рациональное число|рациональных чисел]], больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. <math>\inf</math> такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
* Для множества <math>S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\Bbbmathbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\}</math>
: <math>\sup S=1</math>; <math>\inf S=0</math>.
* Множество положительных рациональных чисел <math>\mathbb{Q}_+=\{x\in\mathbb{Q} \mid x>0\}</math> не имеет точной верхней грани в <math>\mathbb{Q}</math>, точная нижняя грань <math>\inf\mathbb{Q}_+=0</math>.
* Множество <math>X=\{x\in\Bbbmathbb Q\mid x^2<2\}</math> рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в <math>\Bbbmathbb Q</math>, но если его рассматривать как подмножество множества [[действительное число|действительных чисел]], то
: <math>\sup X=\sqrt{2}</math> и <math>\inf X=-\sqrt{2}</math>.
 
: <math>b = \sup X \begin{cases}
\forall x, x \in X \Rightarrow x\leqslant b \\
\forall b', b' < b \Rightarrow \exists x, x \in X \andland x > b'
\end{cases} (1.1) </math>
 
: <math>a = \inf X \begin{cases}
\forall x, x \in X \Rightarrow x\geqslant a\\
\forall a', a' > a \Rightarrow \exists x, x \in X \andland x < a'
\end{cases} (1.2) </math>
 

Навигация