Случайная величина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Случайная величина (случайная переменная, случайное значение) — это математическое понятие, служащее для представления случайных явлений, когда для них может быть определена их вероятность, то есть мера возможности наступления.

Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей.[1] Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» .

Случайная величина определяется следующим образом.[2] Пусть  — вероятностное пространство, измеримое пространство. Тогда случайной величиной на пространстве элементарных событий со значениями в фазовом пространстве называется измеримая функция .

Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.[1]

Существует ряд задач математического анализа и теории чисел для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах[3].

История[править | править код]

Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышевым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867)[4]. Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933)[5], после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определённую на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к[6], где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).

Основные сведения[править | править код]

Функция распределения[править | править код]

Основная статья: Функция распределения

Распределением вероятностей случайной величины называется функция на сигма-алгебре фазового пространства, определенная следующим образом:[2]

, где (распределение вероятностей представляет собой вероятностную меру в фазовом пространстве ).

В случае, если фазовое пространство случайной величины представляет собой множество вещественных чисел , с борелевской σ-алгебры , то функция распределения равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа . Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна . Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения. Например, если случайная величина принимает значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью 1/2, то случайные величины и описываются одной и той же функцией распределения F(x).

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием функции вероятностей всех возможных значений этой случайной величины. Примерами дискретных случайных величин являются величины, имеющие биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Эквивалентные случайные величины[править | править код]

Случайные функции и в фазовом пространстве называется эквивалентными, если для любого множества события и совпадают с вероятностью единица:

, где операция симметрической разности двух множеств.

Для сепарабельного фазового пространства эквивалентность означает, что величины и совпадают с вероятностью единица, т. е. .

Совместное распределение случайных величин. Независимые случайные величины[править | править код]

Совместным распределением вероятностей случайных величин на пространстве элементарных событий  в соответствующих фазовых пространствах , называется функция , определенная на множествах как

.

Распределение вероятностей как функция на полукольце множеств вида в произведение пространств представляет собой функцию распределения. Случайные величины называются независимыми, если при любых

.

Для всякого семейства распределений в соответствующих фазовых пространствах ( параметр принадлежит произвольному множеству ) существует семейство случайных величин на некотором пространстве элементарных событий  в соответствующих фазовых пространствах с распределением независимых между собой (т. е. любые случайные величины , , являются независимыми).

Типы случайных величин[править | править код]

Случайные величины классифицируются и называются в соответствии с типом их фазового пространства. Например:

  • Случайной величина называется дискретной, если она принимает не более чем счетное количество значений. Дискретная случайная величины называется конечной, если она принимает конечное число значений. Случайная величина называется целочисленной, если она принимает в зависимости от случайного исхода одно из значений с соответствующими вероятностями .
  • Измеримая функция называется многомерной случайной величиной или -мерным случайным вектором (относительно борелевской -алгебры на ). Эквивалентно этому является следующее определение: вектор , элементы которого являются случайные величины, называется многомерной случайной величиной или случайным вектором.
  • Измеримая функция называется -мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской -алгебры).
  • Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.
  • Ограниченный выпуклый многогранник в -мерном линейном пространстве построенный в виде выпуклой оболочки более, чем из точек, являющихся реализацией случайного вектора в пространстве , называется случайным выпуклым многогранником.

Случайный процесс[править | править код]

Основная статья: Случайный процесс

Пусть — измеримое пространство, множество значений параметра . Функция параметра , значениями которой являются случайные величины на пространстве элементарных событий  в фазовом пространстве , называется случайным процессом в фазовом пространстве . Всевозможные совместные распределения вероятностей значений :


называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса .

Числовые характеристики случайных величин[править | править код]

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины в линейном нормированном пространстве X на пространстве элементарных событий называется интеграл

( в предположении, что функция является интегрируемой).

Дисперсией случайной величины называется величина, равная:

.

В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение или . Величина , равная

называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Ковариацией случайных величин и называется следующая величина:

=

(предполагается, что математическое ожидание определено).
Если = 0, то случайные величины и называются не коррелированными.
Если , , то величина

называется коэффициентом корреляции случайных величин.

Моментом порядка k случайной величины называется математическое ожидание , абсолютным моментом порядка k называется величина ; центральным моментом порядка k - величина .

Функциональные характеристики случайных величин[править | править код]

Производящая функция[править | править код]

Пусть целочисленная случайная величина, принимающая в зависимости от случайного исхода одно из значений с соответствующими вероятностями . Функция переменной , , определяемая формулой

,

называется производящей функцией распределения случайной величины . Она является аналитической функцией от , , и приведённая формула даёт ее разложение в степенной ряд. Распределение вероятностей однозначно определяется своей производящей функцией:

где — значение производной в точке z = 0.
Производящая функция при фиксированном совпадает с математическим ожиданием случайной величины :

.

Если случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию , то

,
.

Для производящей функции случайной величины, равной сумме независимых случайных величин — с производящими функциями справедлива следующее:

.

Характеристическая функция[править | править код]

Пусть векторная случайная величина в -мерном действительном пространстве , где борелевская -алгебра. Функция переменной , называется функцией распределения случайной величины ( или функцией совместного распределения величин ). Функция

, где ,

переменной на - мерном действительном пространстве называется характеристической функцией случайной величины (или величин ). Она непрерывна и положительно определена в том смысле, что


для любых и любых чисел при этом . Всякая функция , обладающая указанными свойствами, является характеристической функцией некоторой случайной величины .
И функция распределения и характеристическая функция однозначно определяют распределение вероятностей , , случайной величины .

Семиинварианты[править | править код]

Если , то в некоторой окрестности точки функция (ветвь логарифма, равная нулю в нуле) непрерывно дифференцируется до порядка . Значение

называется семиинвариантом порядка k.

Условные вероятности и условные математические ожидания[править | править код]

Пусть  — пространство элементарных событий и - некоторая - алгебра, содержащаяся в . Условная вероятность события относительно - алгебры , обозначаемая , определяется как неотрицательная функция от элементарных исходов , , измеримая относительно , для которой

для любых . Функция на множестве элементарных событий определена однозначно для почти всех элементарных исходов и представляет собой плотность распределения , , относительно распределения на - алгебре .
Условная вероятность , рассматриваемая как функция со значениями в нормированном пространстве всех интегрированных (действительных и комплексных) функций на , представляет собой обобщенную меру на - алгебре пространства , вариация которой есть

.

Всякая случайная (действительная или комплексная ) величина , имеющая математическое ожидание (т.е. являющаяся интегрируемой функцией на пространстве с мерой ), интегрируема по отношению к обобщенной мере . Соответствующий интеграл

называется условным математическим ожиданием случайной величины .

Теорема Байеса[править | править код]

Основная статья: Теорема Байеса

В терминах событий для случайной величины и событий и , при условии, что справедлива формула Байеса [7]:

Для полного набора попарно несовместных событий и любого события с учётом формулы полной вероятности [7]:

справедлива теорема Байеса:

.

В разных источниках, используется различная терминология для различных представлений теоремы Байеса.

Функции от случайных величин[править | править код]

Если борелевская функция, а - случайная величина, то ее функциональное преобразование также является случайной величиной. Например, если  — стандартная нормальная случайная величина, то случайная величина имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера, распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если и с совместным распределением , а - некоторая борелевская функция, то для справедливо [7]:

.

Если , и независимы, то . Применяя теорему Фубини получаем:

и аналогично

.

Если и функции распределения, то функцию

называют свёрткой и и обозначают .
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин и является фурье-преобразование свертки функций распределения и и равна произведения характеристических функций и :

.

Центральные предельные теоремы[править | править код]

Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ)— класс теорем, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин с конечными дисперсиями, вклад в сумму каждой из которых невелик, имеет распределение, близкое к нормальному. Первоисточником исследований в области условий, при выполнений которых распределение суммы случайных величин с увеличением их количества сходится к нормальному стала локальная теорема Муавра — Лапласа. [8]

Способы задания[править | править код]

Задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений.

Примеры[править | править код]

Дискретная случайная величина[править | править код]

Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени.[9]

Подбрасывание монеты[править | править код]

Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий орёл, решка или кратко . Пусть случайная величина равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:

Если монета идеальная, то выигрыш будет иметь вероятность, заданную как:

где  — вероятность получения рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.
Если пространство исходов равно множеству всех возможных комбинаций очков на двух костях, и случайная величина равна сумме этих очков, тогда S — дискретная случайная величина, чьё распределение описывается функцией вероятности, значение которой изображено как высота соответствующей колонки.


Бросание игральных костей[править | править код]

Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости и , каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины , которая задаётся функцией:

и (если кости идеальные) функция вероятности для задаётся через:

,
где  — сумма очков на выпавших костях.

Колода карт[править | править код]

Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда будет представлять одну из вытянутых карт; здесь не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ . Тогда функция , принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть , тогда после подставления этого исхода в функцию , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом эти операции проводить было нельзя.

Биноминальные случайные величины[править | править код]

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью , «неудача» — с вероятностью . Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

Пуассоновские случайные величины[править | править код]

Если при стремлении к бесконечности произведение остаётся равной константе , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

,

где

Непрерывная случайная величина[править | править код]

Другой класс случайных величин - такие, для которых существует неотрицательная функция , удовлетворяющая при любых равенству . Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются непрерывными, а функция называется плотностью распределения вероятностей.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.[9]

Рост случайного прохожего[править | править код]

Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как ) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина интерпретируется как функция , которая трансформирует каждого испытуемого в число — его рост . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности , которое в совокупности с и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Прохоров Ю. В. Случайная величина //Математическая энциклопедия/Под ред. Виноградова И. М.- М.: Советская энциклопедия, 1985.-Т.5.- Стр. 9.- 623 с.
  2. 1 2 3 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. - 496 стр.
  3. Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.
  4. Чебышев П. Л., О средних величинах, в кн.: Полн. Собр. Соч., т. 2, М.- Л., 1947
  5. Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974
  6. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967
  7. 1 2 3 Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.
  8. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
  9. 1 2 Образовательный портал ТГУ. edu.tltsu.ru. Дата обращения 26 июня 2020.

Литература[править | править код]

  • Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
  • Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — Учебное пособие для ВУЗов. — М.: Радио и связь, 1991. — 608 с. — ISBN 5-256-00789-0.
  • Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Ссылки[править | править код]