Случайная величина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Случайная величина — это переменная, значения которой представляют собой исходы какого-нибудь случайного феномена или эксперимента.  Простыми словами: это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей.[1]

Для обозначения случайной величины в математике принято использовать заглавный вариант буквы "икс" . Если определять случайную величину более строго, то она уже не переменная , а функция , значения которой численно выражают исходы случайного феномена. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания патологических случаев, когда значения данной функции бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного феномена, эксперимента.

Важно понимать, что, как функция, случайная величина не возвращает вероятностью наступления события , а возвращает численное выражение исхода . Пусть, например, экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда будет представлять одну из вытянутых карт; понятно что здесь не число, а карта - физический объект, название которого обозначается через символ . Тогда функция , принимая в качестве аргумента "название" объекта, вернёт уже число с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Крести, т.е. , тогда после подставления этого исхода в функцию , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом эти операции проводить было нельзя.

Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.[1]

Следует также отметить, что существует ряд задач математического анализа и теории чисел для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах[2].

История[править | править код]

Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышевым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867)[3]. Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933) [4], после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определённую на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к [5], где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).

Определение[править | править код]

Формальное математическое определение следующее: пусть  — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом[6]. Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел и множество событий , таких что , принадлежит .

Примеры[править | править код]

Дискретная случайная величина[править | править код]

Подбрасывание монеты[править | править код]

Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий орёл, решка или коротко . Пусть случайная величина равна выигрышу, который мы получим в результате ставок на результат исхода подбрасывания монеты. Так пусть мы получим 10 руб. каждый раз, когда монетка выпадает орлом, и -33 руб. при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша или можно представить так:

Если монетка идеальная, то выигрыш будет иметь вероятность, заданную как:

Если пространство исходов равно множеству всех возможных комбинаций очков на двух костях, и случайная величина равна сумме этих очков, тогда S - это дискретная случайная величина, чьё распределение описывается функцией вероятности, значение которой изображено как высота соответствующей колонки.
где - вероятность получения рублей выигрыша при подбрасывании монетки.

Бросание игральных костей[править | править код]

Случайная величина так же может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а так же для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости n1 и n2, каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины , которая задаётся функцией:

и (если кости идеальные) функция вероятности для задаётся через:

,
где - сумма очков на выпавших костях.

Непрерывная случайная величина[править | править код]

Рост случайного прохожего[править | править код]

Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как 大-oracle.svg) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина выражает рост выбранного нами человека 大-oracle.svg. В этом случае, с математической точки, зрения случайная величина интерпретируется как функция 大-oracle.svg, которая трансформирует испытуемого大-oracle.svgв число - его рост . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост 大-oracle.svg попадёт в промежуток между 180см и 190см, или вероятность того, что его рост будет выше 150см., нужно знать распределение вероятности, которое в совокупности с и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.

Классификация[править | править код]

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

  • Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.
  • В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.
  • Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.

  • Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

Методы описания[править | править код]

Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием вероятностей всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

Если при стремлении к бесконечности произведение остаётся равной константе , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

,

где

Простейшие обобщения[править | править код]

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

  • Измеримая функция называется n-мерным случайным вектором (относительно борелевской -алгебры на ).
  • Измеримая функция называется n-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской -алгебры).
  • Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Прохоров Ю. В. Случайная величина //Математическая энциклопедия/Под ред. Виноградова И.М.- М.: Советская энциклопедия, 1985.-Т.5.- Стр. 9.- 623 с.
  2. Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.
  3. Чебышев П. Л., О средних величинах, в кн.: Полн. Собр. Соч., т. 2, М.- Л., 1947
  4. Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974
  5. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967
  6. Ошибка в сносках?: Неверный тег <ref>; для сносок Чернова_СлВ не указан текст

Литература[править | править код]

  • Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
  • Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
  • Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — Учебное пособие для ВУЗов. — М.: Радио и связь, 1991. — 608 с. — ISBN 5-256-00789-0.
  • Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Ссылки[править | править код]