Смешанное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Смешанные уравнения (уравнения смешанного типа) — класс дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, являющихся гиперболическими в одной области пространства переменных и эллиптическими — в другой. Эти области разделены линией (в случае двух независимых переменных) или поверхностью (в случае трёх и более независимых переменных), в точках которой уравнение относится к параболическому типу или не определено. Эта линия (поверхность) называется линией (поверхностью) смены типа или линией (поверхностью) вырождения.

В случае двух независимых переменных линия вырождения является дискриминантной кривой уравнения характеристик. Широкий класс этих уравнений может быть представлен в виде: [1]

По сравнению с уравнениями гиперболического, эллиптического и параболического типов, теория смешанных уравнений имеет сравнительно недолгую историю. Впервые смешанные уравнения с двумя независимыми переменными были систематически исследованы итальянскими математиками Ф. Трикоми и М. Чибрарио. В СССР уравнения смешанного типа изучались многими математиками, в частности, им уделялось большое внимание в школах М. А. Лаврентьева и А. В. Бицадзе. Уравнения смешанного типа нашли многочисленные применения — например, в задачах, связанных с трансзвуковой газовой динамикой.

Уравнение Трикоми[править | править код]

Характеристики уравнения Трикоми, заполняющие область гиперболичности

Простейший пример смешанного уравнения — уравнение Трикоми (иногда называемое также уравнением Эйлера — Трикоми):

,

относящееся к гиперболическому типу в области и к эллиптическому типу — в области Линия смены типа уравнения Трикоми совпадает с осью y, а уравнение характеристик совпадает с так называемой нормальной формой Чибрарио. Характеристики образуют семейство полукубических парабол, лежащих в гиперболической области с точками возврата на линии смены типа.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. — М.: ОГИЗ, 1947. — 191 с.
  • Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.
  • Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrali delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, — Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
  • Лаврентьев М. А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа, — Докл. АН, 70:3 (1950), 373–376.
  • Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа, — Любое издание.
  • Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа, — Любое издание.
  • Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике, — Изд. ЛГУ, 1990.