Собственный вектор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации (преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению . Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Понятия собственного вектора и собственного числа являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Множество всех собственных векторов линейного преобразования называется собственным подпространством, множество всех собственных значений матрицы или линейного преобразования — спектром матрицы или преобразования.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть линейное пространство над полем , линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор , который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа

Если является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то называется высотой корневого вектора .

Корневым подпространством линейного преобразования для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств[править | править вики-текст]

Общий случай[править | править вики-текст]

Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования (-инвариантным подпространством), если

.
  • Собственные подпространства , корневые подпространства и подпространства линейного оператора являются -инвариантными.
  • Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): ;
  • Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
  • Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
если .
  • Метод поиска собственных значений для самосопряжённых операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора даёт теорема Куранта — Фишера.

Конечномерные линейные пространства[править | править вики-текст]

Выбрав базис в -мерном линейном пространстве , можно сопоставить линейному преобразованию квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

.
  • Характеристический многочлен не зависит от базиса в . Его коэффициенты являются инвариантами оператора . В частности, , не зависят от выбора базиса.
  • Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
  • Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
  • Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
  • Для положительно определённой симметричной матрицы процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является ни чем иным как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение линейных множителей

где — собственные значения; некоторые из могут быть равны. Кратность собственного значения — это число множителей равных в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).
  • Размерность корневого пространства равна кратности собственного значения.
  • Векторное пространство разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):
где суммирование производится по всем — собственным числам .
  • Геометрическая кратность собственного значения — это размерность соответствующего собственного подпространства ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы[править | править вики-текст]

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор , коммутирующий со своим сопряжённым :

.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (), антиэрмитовы операторы () и унитарные операторы (), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

  • Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.
  • Собственные векторы нормального оператора , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если , и , то . (Для произвольного оператора это неверно.)
  • Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
  • Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
  • Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности .
  • В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
где суммирование производится по всем — собственным числам , а взаимно ортогональны для различных .
  • Последнее свойство для нормального оператора над является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы[править | править вики-текст]

Квадратная вещественная матрица называется положительной, если все её элементы положительны: .

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона — Фробениуса): Положительная квадратная матрица имеет положительное собственное значение , которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению соответствует собственный вектор , все координаты которого строго положительны. Вектор — единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор с положительными координатами. Положим:

Последовательность сходится к нормированному собственному вектору .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Неравенства для собственных значений[править | править вики-текст]

  • Неравенство Шура Пусть — собственные значения матрицы . Тогда
,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда нормальная матрица[1].
  • Пусть — собственные значения матрицы , где матрицы эрмитовы. Тогда
и [2]
  • Пусть — эрмитовы матрицы, . Упорядочим собственные значения этих матриц в порядке возрастания: . Тогда при и при [2]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]