Совершенное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

Совершенные числа образуют последовательность:

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216, … (последовательность A000396 в OEIS).

Примеры[править | править вики-текст]

  • 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.
  • 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.
  • 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.
  • 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.

История изучения[править | править вики-текст]

Чётные совершенные числа[править | править вики-текст]

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число \ 2^{p-1}(2^p-1) является совершенным, если число \ 2^p-1 является простым (т. н. простые числа Мерсенна)[1]. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7) приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее р = 13, обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётные совершенные числа[править | править вики-текст]

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учётом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: (1^3+3^3+5^3+\ldots).
  • Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n−1) для некоторого натурального числа n.
  • Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая само число), равна 2. Это прямое следствие определения и того факта, что сумма делителей при делении на само число дает сумму чисел, обратных делителям.
  • Все совершенные числа являются числами Оре.
  • Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.
  • Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p—1 нулей (следствие из их общего представления).
  • Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число[2], то это число будет равно 1 (2+8=10, 1+0=1; 4+9+6=28...). Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.

Интересные факты[править | править вики-текст]

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, имеющих основание в авраамических религиях, утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Джеймс А. Эшельман (en:James A. Eshelman) в книге «Еврейские иерархические имена Брии»[3] пишет, что в соответствии с гематрией:

«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова малхут (царство). Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».
«Левиафан» (букв. «извивающийся») — один из четырёх Князей Тьмы, воплощённый в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — значит контролировать энергии Нефеш, ассоциируемые со сфирой йесод. Во-вторых, «змей изгибающийся» может означать и «свернувшийся кольцами змей», то есть Кундалини. В-третьих, гематрия слова «Левиафан» — 496, так же как и слова «Малхут» (Царство); представление о том, что архангел Йесод сдерживает природу Малхут, даёт богатую пищу для размышлений. В-четвертых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полное расширение, или проявление, имени «Эль», божественного имени трёх высших сфирот в Брии (в том числе и сфиры Кетер, ангелом которой является Йехоэль)».

В сочинении «Град Божий» святой Августин писал[4]:

«Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.»

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]