Соглашение Эйнштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна: если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

буква i встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

Точнее

где n — размерность пространства, на котором определены a и b (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

В случае использования выражений в виде дробей, таких как частные производные, верхние индексы, записываемые в знаменателе, считаются для применения правила как бы нижними и наоборот, например выражение

записывается в виде

Замечание[править | править вики-текст]

В некоторых случаях[1] (если метрический тензор полагается всегда равным ) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Например, в теории упругости. См. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.VII. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.