Соединение многогранников

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Соединение многогранников — это фигура, составленная из некоторых многогранников, имеющих общий центр. Соединения являются трёхмерными аналогами многоугольных соединений, таких как гексаграмма.

Внешние вершины соединения можно соединить, образовав выпуклый многогранник, который называется выпуклой оболочкой. Соединение является огранкой выпуклой оболочки.

Внутри соединения образуется меньший выпуклый многогранник как общая часть всех членов соединения. Этот многогранник называется ядром для звёздчатых многогранников.

Правильные соединения[править | править код]

Правильные многогранные соединения можно определить как соединения, которые, как и в случае правильных многогранников, являются вершинно-транзитивными[en], рёберно транзитивными[en] и гранетранзитивными[en]. Существует пять правильных соединений многогранников.

Соединение Рисунок Сферическое представление Выпуклая оболочка Ядро Симметрия[en] Подгруппа
для одной
составляющей
Двойственный
Два тетраэдра[en]
(stella octangula)
Compound of two tetrahedra.png Spherical compound of two tetrahedra.png Куб Октаэдр *432
[4,3]
Oh
*332
[3,3]
Td
Самодвойственен
Пять тетраэдров Compound of five tetrahedra.png Spherical compound of five tetrahedra.png Додекаэдр Икосаэдр 532
[5,3]+
I
332
[3,3]+
T
энантиоморфный
хиральный двойник
Десять тетраэдров Compound of ten tetrahedra.png Spherical compound of ten tetrahedra.png Додекаэдр Икосаэдр *532
[5,3]
Ih
332
[3,3]
T
Самодвойственен
Пять кубов[en] Compound of five cubes.png Spherical compound of five cubes.png Додекаэдр Ромботриаконтаэдр *532
[5,3]
Ih
3*2
[3,3]
Th
Пять октаэдров
Пять октаэдров Compound of five octahedra.png Spherical compound of five octahedra.png Икосододекаэдр Икосаэдр *532
[5,3]
Ih
3*2
[3,3]
Th
Пять кубов

Наиболее известно соединение двух тетраэдров. Кеплер назвал это соединение по-латински stella octangula (звёздчатый октаэдр). Вершины двух тетраэдров задают куб, а их пересечение является октаэдром, грани которого лежат на тех же плоскостях, что и грани составляющих тетраэдров. Таким образом, соединение является приведением к звезде октаэдра и, фактически, его единственным возможным приведением.

Звёздчатый октаэдр можно также рассматривать как двойственно-правильное соединение.

Соединение пяти тетраэдров имеет две зеркальные версии, которые вместе дают соединение десяти тетраэдров. Все соединения тетраэдров самодвойственны, а соединение пяти кубов двойственно соединению пяти октаэдров.

Двойственные соединения[править | править код]

Двойственное соединение — это соединение многогранника и двойственного ему, расположенных взаимно противоположно относительно общей вписанной или полувписанной сферы, так что ребро одного многогранника пересекает двойственное ребро двойственного многогранника. Существует пять таких соединений правильных многогранников.

Компоненты Рисунок Выпуклая оболочка Ядро Симметрия[en]
Два тетраэдра[en]
(stella octangula)
Compound of two tetrahedra.png Куб Октаэдр *432
[4,3]
Oh
куб и октаэдр[en] Compound of cube and octahedron.png Ромбододекаэдр Кубооктаэдр *432
[4,3]
Oh
додекаэдр
и икосаэдр
[en]
Compound of dodecahedron and icosahedron.png Ромботриаконтаэдр Икосододекаэдр *532
[5,3]
Ih
большй икосаэдр и
большой звёздчатый додекаэдр
[en]
Compound of great icosahedron and stellated dodecahedron.png Додекаэдр Икосододекаэдр *532
[5,3]
Ih
малый додекаэдр и
большой додекаэдр
[en]
Compound of great dodecahedron and small stellated dodecahedron.png Икосаэдр Додекаэдр *532
[5,3]
Ih

Тетраэдр самодвойственен, так что двойственное соединение тетраэдра с двойственным ему является также звёздчатым октаэдром.

Двойственные соединения куб-октаэдр и додекаэдр-икосаэдр являются приведением к звезде кубооктаэдра и икосододекаэдра соответственно.

Соединение малого додекаэдра и большого додекаэдра выглядит внешне как тот же самый малый звёздчатый додекаэдр, поскольку большой додекаэдр содержится полностью внутри него. По этой причине изображение малого звёздного додекаэдра, приведённое выше, показано в виде рёберного каркаса.

Однородные соединения[править | править код]

В 1976 Джон Скиллинг (John Skilling) опубликовал статью Однородные соединения однородных многогранников [1], в которой перечислил 75 соединений (включая 6 бесконечных множеств призматических соединений, №20-25), полученных из однородных многогранников с помощью вращений. (Каждая вершина является вершинно транзитивной[en].) Список включает пять соединений правильных многогранников из списка выше. [1]

Эти 75 однородных соединений приведены в таблице ниже. В большинстве соединений разные цвета соответствуют разным составляющим. Некоторые хиральные пары раскрашены согласно зеркальной симметрии.

  • 1—19: Смесь (4,5,6,9,17 являются пятью правильными соединениями)
UC01-6 tetrahedra.png UC02-12 tetrahedra.png UC03-6 tetrahedra.png UC04-2 tetrahedra.png UC05-5 tetrahedra.png UC06-10 tetrahedra.png
UC07-6 cubes.png UC08-3 cubes.png UC09-5 cubes.png UC10-4 octahedra.png UC11-8 octahedra.png UC12-4 octahedra.png
UC13-20 octahedra.png UC14-20 octahedra.png UC15-10 octahedra.png UC16-10 octahedra.png UC17-5 octahedra.png UC18-5 tetrahemihexahedron.png
UC19-20 tetrahemihexahedron.png
UC20-2k n-m-gonal prisms.png UC21-k n-m-gonal prisms.png UC22-2k n-m-gonal antiprisms.png UC23-k n-m-gonal antiprisms.png UC24-2k n-m-gonal antiprisms.png UC25-k n-m-gonal antiprisms.png
UC26-12 pentagonal antiprisms.png UC27-6 pentagonal antiprisms.png UC28-12 pentagrammic crossed antiprisms.png UC29-6 pentagrammic crossed antiprisms.png UC30-4 triangular prisms.png UC31-8 triangular prisms.png
UC32-10 triangular prisms.png UC33-20 triangular prisms.png UC34-6 pentagonal prisms.png UC35-12 pentagonal prisms.png UC36-6 pentagrammic prisms.png UC37-12 pentagrammic prisms.png
UC38-4 hexagonal prisms.png UC39-10 hexagonal prisms.png UC40-6 decagonal prisms.png UC41-6 decagrammic prisms.png UC42-3 square antiprisms.png UC43-6 square antiprisms.png
UC44-6 pentagrammic antiprisms.png UC45-12 pentagrammic antiprisms.png
  • 46—67: Тетраэдральная симметрия, вложенная в октаэдральную или икосоэдральную симметрию,
UC46-2 icosahedra.png UC47-5 icosahedra.png UC48-2 great dodecahedra.png UC49-5 great dodecahedra.png UC50-2 small stellated dodecahedra.png UC51-5 small stellated dodecahedra.png
UC52-2 great icosahedra.png UC53-5 great icosahedra.png UC54-2 truncated tetrahedra.png UC55-5 truncated tetrahedra.png UC56-10 truncated tetrahedra.png UC57-5 truncated cubes.png
UC58-5 quasitruncated hexahedra.png UC59-5 cuboctahedra.png UC60-5 cubohemioctahedra.png UC61-5 octahemioctahedra.png UC62-5 rhombicuboctahedra.png UC63-5 small rhombihexahedra.png
UC64-5 small cubicuboctahedra.png UC65-5 great cubicuboctahedra.png UC66-5 great rhombihexahedra.png UC67-5 great rhombicuboctahedra.png
UC68-2 snub cubes.png UC69-2 snub dodecahedra.png UC70-2 great snub icosidodecahedra.png UC71-2 great inverted snub icosidodecahedra.png UC72-2 great retrosnub icosidodecahedra.png UC73-2 snub dodecadodecahedra.png
UC74-2 inverted snub dodecadodecahedra.png UC75-2 snub icosidodecadodecahedra.png

Другие соединения[править | править код]

Compound of 4 cubes.png Compound of 4 octahedra.png
Эти соединения четырёх кубов и четырёх октаэдров не являются ни правильными, ни двойственными, ни однородными соединениями.

Два многогранника, являющиеся соединениями, но их элементы строго заключены в малый сложный икосоддодекаэдр[en] (соединение икосаэдра и большого додекаэдра) и большой сложный икосододекаэдр[en] (соединение малого звёздного додекаэдра[en] и большого икосаэдра). Если принять обобщённое определение однородного многогранника[en], они будут однородными.

Секция энтианоморфных пар в списке Скиллинга не содержит соединения двух больших плосконосых додекоикосододекаэдров[en], поскольку грани-пентаграммы совпадают. Удаление совпадающих граней приведёт к соединению двадцати октаэдров[en].

Четырёхмерные соединения[править | править код]

Ортогональные проекции
Regular compound 75 tesseracts.png Regular compound 75 16-cells.png
75 {4,3,3} 75 {3,3,4}

В четырёхмерном пространстве существует большое число правильных соединений правильных многогранников. Коксетер перечислил некоторые из них в своей книге Правильные многогранники[en] [2].

Самодвойственные:

Соединение Симметрия
120 пятиячейников [5,3,3], порядок 14400
5 двадцатичетырёхячейников [5,3,3], порядок 14400

Двойственные пары:

Соединение 1 Соединение 2 Симметрия
3 шестнадцатиячейника[3] 3 тессеракта [3,4,3], порядок 1152
15 шестнадцатиячейников 15 тессерактов [5,3,3], порядок 14400
75 шестнадцатиячейников 75 тессерактов [5,3,3], порядок 14400
300 шестнадцатиячейников 300 тессерактов [5,3,3]+, порядок 7200
600 шестнадцатиячейников 600 тессерактов [5,3,3], порядок 14400
25 двадцатичетырёхячейников 25 двадцатичетырёхячейников [5,3,3], порядок 14400

Однородные соединения с выпуклыми четырёхмерными многогранниками:

Соединение 1
вершинно транзитивное[en]
Соединение 2
ячейно транзитивное[en]
Симметрия
2 шестнадцатиячейника[4] 2 тессеракта [4,3,3], порядок 384
100 двадцатичетырёхячейников 100 двадцатичетырёхячейников [5,3,3]+, порядок 7200
200 двадцатичетырёхячейников 200 двадцатичетырёхячейников [5,3,3], порядок 14400
5 шестисотячейников 5 стодвадцатиячейников [5,3,3]+, порядок 7200
10 шестисотячейников 10 стодвадцатиячейников [5,3,3], порядок 14400

Двойственные позиции:

Соединение Симметрия
2 пятиячейника
{{3,3,3}}
[[3,3,3]], порядок 240
2 двадцатичетырёхячейника[5]
{{3,4,3}}
[[3,4,3]], порядок 2304

Соединение правильных звёздных четырёхмерных многогранников[править | править код]

Самодвойственные звёздные соединения:

Соединение Симметрия
5 {5,5/2,5}[en] [5,3,3]+, порядок 7200
10 {5,5/2,5}[en] [5,3,3], порядок 14400
5 {5/2,5,5/2}[en] [5,3,3]+, порядок 7200
10 {5/2,5,5/2}[en] [5,3,3], порядок 14400

Двойственные пары соединений звёзд:

Соединение 1 Соединение 2 Симметрия
5 {3,5,5/2} 5 {5/2,5,3} [5,3,3]+, порядок 7200
10 {3,5,5/2} 10 {5/2,5,3} [5,3,3], порядок 14400
5 {5,5/2,3} 5 {3,5/2,5} [5,3,3]+, порядок 7200
10 {5,5/2,3} 10 {3,5/2,5} [5,3,3], порядок 14400
5 {5/2,3,5} 5 {5,3,5/2} [5,3,3]+, порядок 7200
10 {5/2,3,5} 10 {5,3,5/2} [5,3,3], порядок 14400

Однородные соединения звёзд:

Соединение 1
вершинно транзитивное[en]
Соединение 2
ячейно транзитивное[en]
Симметрия
5 {3,3,5/2}[en] 5 {5/2,3,3}[en] [5,3,3]+, порядок 7200
10 {3,3,5/2}[en] 10 {5/2,3,3}[en] [5,3,3], порядок 14400

Теория групп[править | править код]

В терминах теории групп, если G является группой симметрии соединения многогранников и группа действует транзитивно на многогранник (так что любой многогранник может быть в любой другой, как в однородных соединениях), тогда, если H является стабилизатором одного выбранного многогранника, многогранники могут быть определены по орбите G/H.

Соединение мозаик[править | править код]

Существует восемнадцать двупараметрических семейств правильных соединений мозаик на евклидовой плоскости. В гиперболическом пространстве известны пять однопараметрических семейств и семнадцать изолированных мозаик, но список не является завершённым.

Евклидовы и гиперболические семейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p целое) аналогичны сферическим звёздчатым октаэдрам, 2 {3,3}.

Некоторые примеры евклидовых и гиперболических правильных соединений
Самодвойственные Двойственные Самодвойственные
2 {4,4} 2 {6,3} 2 {3,6} 2 {∞,∞}[en]
Kah 4 4.png Compound 2 hexagonal tilings.png Compound 2 triangular tilings.png Infinite-order apeirogonal tiling and dual.png
3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}[en]
Compound 3 hexagonal tilings.png Compound 3 triangular tilings.png Iii symmetry 000.png

Известным семейством правильных еквлидовых соединений сот в пространствах размерности пять и выше является бесконечное семейство гиперболических сот[en], имеющих общие вершины и грани. Такое соединение может иметь произвольное число ячеек в соединении.

Существуют также двойственно-правильные соединения мозаик. Простым примером служит E2-соединение шестиугольной мозаики и её двойственной треугольной. Евклидово соединение двух гиперболических сот правильно и двойственно правильно.

Примечания[править | править код]

  1. Skilling, 1976, с. 447–457.
  2. Coxeter, 1973, с. 305, Таблица VII.
  3. Richard Klitzing, Uniform compound Звёздчатый икосаэдр
  4. Richard Klitzing, Uniform compound Demidistesseract
  5. Richard Klitzing, Uniform compound Dual positioned 24-cells

Литература[править | править код]

  • John Skilling Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79. — DOI:10.1017/S0305004100052440..
  • P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
  • Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge: Cambridge University Press, 1983. — P. 51–53..
  • Michael G. Harman. Polyhedral Compounds. — unpublished manuscript, 1974..
  • Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. — Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. — 1876. — Т. 11. — С. 5–97.
  • H.S.M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. стр. 87 Five regular compounds

Внешние ссылки[править | править код]