Соотношения Крамерса — Кронига

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Соотноше́ния Кра́мерса — Кро́нига — интегральная связь между действительной и мнимой частями любой комплексной функции, аналитичной в верхней полуплоскости. Часто используются в физике для описания связи действительной и мнимой частей функции отклика физической системы, поскольку аналитичность функции отклика подразумевает, что система удовлетворяет принципу причинности, и наоборот [1]. В частности, соотношения Крамерса — Кронига выражают связь между действительной и мнимой частями диэлектрической проницаемости в классической электродинамике и амплитуды вероятности перехода (матричного элемента) между двумя состояниями в квантовой теории поля.

Определение[править | править вики-текст]

Для комплексной функции \chi(\omega) = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega) комплексной переменной \omega, аналитичной в верхней полуплоскости \omega и стремящейся к нулю при |\omega| \rightarrow \infty, соотношения Крамерса — Кронига записываются следующим образом:

\chi_1(\omega) = {1 \over \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'

и

\chi_2(\omega) = -{1 \over \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',

где символы v.p. означает взятие интеграла в смысле главного значения (по Коши). Видно, что  \chi_1(\omega) и \chi_2(\omega) не являются независимыми, а значит, полная функция может быть восстановлена, если задана только её действительная или мнимая часть.

В более компактной форме:

\chi(\omega) = {1 \over i \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'.

Вывод[править | править вики-текст]

Пусть f(x) - непрерывная функция комплексной переменной x. Оценим сумму интегралов по контурам немного выше и немного ниже действительной оси: \lim_{\epsilon \to 0} \left [ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x-i\epsilon} +  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x+i\epsilon} \right ] = \lim_{\epsilon \to 0} \left [ \int_{-\infty-i\epsilon}^{\infty-i\epsilon} \frac{f(x'+i\epsilon)dx'}{x'} +  \int_{-\infty+i\epsilon}^{\infty+i\epsilon} \frac{f(x'-i\epsilon)dx'}{x'} \right ] = 2 v.p. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x}dx. Оценим разность интегралов по контурам немного выше и немного ниже действительной оси: \lim_{\epsilon \to 0} \left [ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x-i\epsilon} -  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x+i\epsilon} \right ] = \oint _{-\infty}^{\infty}  \frac{f(x)}{x}dx = 2 \pi i f(0) (интегральная формула Коши). Комбинируя эти два равенства, находим \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x \pm i\epsilon} = v. p. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x} \mp i \pi f (0). Рассмотрим функцию f(z) комплексного переменного z, аналитическую в верхней полуплоскости и рассмотрим контурный интеграл \oint \frac{f(z)dz}{z-a} по контуру на комплексной плоскости, образованному полуокружностью, включающей внутри себя точку a и отрезком действительной оси в качестве диаметра полуокружности. Будем неограниченно увеличивать диаметр этой полуокружности. В силу интегральной формулы Коши этот интеграл будет равен 2 \pi i f(a). Если функция f(z) достаточно быстро убывает на бесконечности, то вклад от интегрирования по полуокружности неограниченного радиуса исчезает и остается лишь вклад от интегрирования по действительной оси: 2 \pi i f(a) = \int _{-\infty}^{\infty} \frac{f(z)dz}{z-a}. Если положить Im a = \epsilon, где \epsilon - бесконечно малая величина, то \lim_{\epsilon \to 0} f (a+i \epsilon) = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{\epsilon \to 0} \int _{-\infty}^{\infty} \frac{f(z)dz}{z-a-i\epsilon} = \frac{1}{2 \pi i}  \left [ v. p. \int _{-\infty}^{\infty} \frac{f(z)dz}{z-a} + i \pi f(a) \right ] . Отсюда получаем f(x)=\frac{1}{\pi i} v. p.  \int _{-\infty}^{\infty} \frac{f(z)dz}{z-x} Полагая f(x)=Re f(x) + i Im f(x), приходим к дисперсионным соотношениям: Re f(x) = \frac{1}{\pi} \int _{-\infty}^{\infty} \frac{Im f(z)dz}{z-x}, Im f(x) = - \frac{1}{\pi} \int _{-\infty}^{\infty} \frac{Re f(z)dz}{z-x}[2].

Соотношения Крамерса — Кронига в физике[править | править вики-текст]

Классическая электродинамика [3][4][править | править вики-текст]

Важным примером применения соотношений Крамерса — Кронига в физике является выражение дисперсионных соотношений в классической электродинамике. В этом случае  \varepsilon(\omega) = \varepsilon^\prime(\omega) + i\varepsilon^{\prime\prime}(\omega), где \varepsilon — диэлектрическая проницаемость, ω — частота.

 \varepsilon^\prime(\omega) -1 = \frac{1}{\pi} v.p. \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon^{\prime\prime}(x)}{x-\omega} dx

и

 \varepsilon^{\prime\prime}(\omega) = - \frac{1}{\pi} v.p.  \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon^\prime(x) -1}{x-\omega} dx.

Действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости определяют показатель преломления и показатель поглощения (оптические постоянные) данной среды. Таким образом, эти показатели не являются независимыми один от другого и, следовательно, появляется принципиальная возможность по спектру одной из оптических постоянных вычислять спектр другой, не прибегая к непосредственным измерениям последнего. Это позволяет в ряде случаев уменьшить объём экспериментально получаемой информации, необходимой для определения оптических постоянных, например, в области интенсивных полос поглощения конденсированных сред. Выполнимость соотношений Крамерса-Кронига неоднократно проверялась экспериментально для различных сред в различных агрегатных состояниях и при различной температуре (кристаллы, жидкости, растворы)[5][6].

Квантовая теория поля[править | править вики-текст]

В квантовой теории поля при изучении процессов рассеяния, амплитуды вероятностей переходов, рассматриваемые как комплексные функции полной энергии системы, передаваемого импульса и т. п. удовлетворяют дисперсионным соотношениям[2]. Это существенно облегчает изучение этих явлений.

История[править | править вики-текст]

Соотношения Крамерса — Кронига установлены в 1926-1927 гг. Ральфом Кронигом[7] и Хендриком Крамерсом[8] и названы в их честь.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations, Physical Review, vol. 104, pp. 1760—1770 (1956).
  2. 1 2 Нишиджима, 1965, с. 153
  3. Martin P. Sum rules Kramers – Kronig relations and transport coefficients in charged systems // Phys. Rev.. — 1967. — Т. 161. — С. 143.
  4. Агранович В. М., Гинзбург В. Л. Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теории экситонов. — М., 1979.
  5. Альперович Л. И., Бахшиев Н. Г., Забиякин Ю. Е., Либов В. С. Соотношения Крамерса - Кронига для молекулярных спектров жидкостей и растворов // Оптика и спектроскопия. — 1968. — Т. 24. — С. 60 - 63.
  6. Забиякин Ю. Е. Проверка дисперсионных соотношений Крамерса - Кронига в широком интервале температур // Оптика и спектроскопия. — 1968. — Т. 24. — С. 828 - 829.
  7. R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, pp. 547—557 (1926).
  8. H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545—557 (1927) .

Литература[править | править вики-текст]

  • Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. // Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
  • Бартон Г., Дисперсионные методы в теории поля, пер. с англ., M., 1968.
  • Нишиджима К. Фундаментальные частицы. — М.: Мир, 1965. — 462 с.