Соприкасающаяся окружность
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. |
Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».
Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через и две близкие к ней точки , когда стремятся к .
Связанные определения[править | править код]
Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:
Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.
Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.
Координаты центра кривизны[править | править код]
Центр кривизны функции в точке находится в следующей точке[1][2]:
Свойства[править | править код]
- Инверсия соприкасающейся окружности есть соприкасающеяся окружность инверсии кривой в соответственной точке.
- В вершинах кривой и только в них, порядок касания соприкасающейся окружности превосходит 2.
- Теорема Тейта — Кнезера утверждает, что если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающейся окружности кривой вложенны друг в друга.
История[править | править код]
Понятие соприкасающейся окружности (лат. circulum osculans) было введено Лейбницем. Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона.
Вариации и обобщения[править | править код]
- Соприкасающаяся сфера пространственной кривой есть сфера с центром в точке
- проходящая через . Здесь и обозначают кривизну и кручение кривой, , , — трёхгранник Френе.
- В случае если кривизна и кручение кривой отличны от нуля соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой с которой кривая имеет степень соприкосновения хотя бы 3.
Примечания[править | править код]
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |