Сопряжённое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Определение[править | править вики-текст]

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается . Множество всех линейных функционалов на , не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к , оно обычно обозначается .[1]

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда линейное пространство конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на . В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда бесконечномерное, вообще говоря, .[1]

В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).

Свойства[править | править вики-текст]

Конечномерные пространства[2][править | править вики-текст]

  • Сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем . Следовательно, пространства и изоморфны.
  • Каждому базису пространства можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис пространства , где функционал  — проектор на вектор :
  • Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между и существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением
  • Второе сопряжённое пространство изоморфно . Более того, существует канонический изоморфизм между и (при этом не предполагается, что пространство евклидово), определённый соотношением
  • Определенный выше канонический изоморфизм показывает, что пространства и играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для часто пишут подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространства[править | править вики-текст]

  • Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и , причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства [4].
  • Сопряжённым к пространству , , является пространство , где . Аналогично, сопряжённым к , , является с тем же соотношением между p и q.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
  • При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
  2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.
  3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965, стр. 147.
  4. Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.

Литература[править | править вики-текст]