Сопряжённое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Определение[править | править вики-текст]

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом линейном пространстве E, также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E^*. Множество всех линейных функционалов на E, не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к E, оно обычно обозначается E^{\#}.[1]

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда линейное пространство E конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство E^* = E^{\#} состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на E. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда E бесконечномерное, вообще говоря, E^* \neq E^{\#}.[1]

В тензорном исчислении применяется обозначение x^k для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и x_k для элементов E^* (нижний, или ковариантный индекс).

Свойства[править | править вики-текст]

Конечномерные пространства[2][править | править вики-текст]

  • Сопряжённое пространство E^* имеет ту же размерность, что и пространство E над полем F. Следовательно, пространства E и E^{*} изоморфны.
  • Каждому базису e^1, \ldots, e^n пространства E можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис e_1, \ldots, e_n пространства E^*, где функционал e_i\, — проектор на вектор \,e^i:
e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E.
  • Если пространство E евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между E и E^* существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением
v \in E \mapsto f \in E^*, \quad f(x) = \langle x, v \rangle, \ \forall x\in E.
  • Второе сопряжённое пространство E^{**} изоморфно E. Более того, существует канонический изоморфизм между E и E^{**} (при этом не предполагается, что пространство E евклидово), определённый соотношением
x \in E \mapsto z \in E^{**}, \quad z(f) = f(x), \ \forall x\in E, \ \forall f\in E^*.
  • Определенный выше канонический изоморфизм E \to E^{**} показывает, что пространства E и E^{*} играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для x\in E, \ f\in E^* часто пишут f(x)= (x, f) подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространства[править | править вики-текст]

  • Если пространство E гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между E и E^*, причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства E[4].
  • Сопряжённым к пространству L^p, 1 < p < \infty, является пространство L^q, где 1/p+1/q=1. Аналогично, сопряжённым к l^p, 1 < p < \infty, является l^q с тем же соотношением между p и q.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
  2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.
  3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965, стр. 147.
  4. Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.

Литература[править | править вики-текст]