Список моментов инерции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Приведён спи́сок моме́нтов ине́рции[стиль!] массивного твёрдого тела различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину2. Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений[уточнить], который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание Изображение Моменты инерции Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m Moment of inertia thin cylinder.png I = m r^2 \,\!  [1] Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2.

Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r1, внешнего радиуса r2, длиной h и массой m Moment of inertia thick cylinder h.png I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)  [1][2]
I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]
или при определении нормированной толщины tn = t/r и полагая r = r2,
тогда I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}{t_n}^2\right)
При плотности ρ и той же геометрии: I_z = \frac{1}{2} \pi\rho h\left({r_2}^4 - {r_1}^4\right)
Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m Moment of inertia solid cylinder.svg I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!  [1]
I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)
Это частный случай предыдущего объекта при r1=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m Moment of inertia disc.svg I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!
I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!
Это частный случай предыдущего объекта при h=0.
Тонкое кольцо радиуса r и массы m Moment of inertia hoop.svg I_z = m r^2\!
I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!
Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r1=r2 и h=0.
Твёрдый шар радиуса r и массы m Moment of inertia solid sphere.svg I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!  [1] Сферу можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r.
Пустотелая сфера радиуса r и массы m Moment of inertia hollow sphere.svg I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!  [1] Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.
Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m Ellipsoid 321.png I_a = \frac{m (b^2+c^2)}{5}\,\!
Прямоугольный круговой конус радиуса r, высоты h и массы m Moment of inertia cone.svg I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!  [3]
I_x = I_y = \frac{3}{5}m\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!  [3]
Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m Moment of inertia solid rectangular prism.png I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)
I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right)
I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right)
Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра s, I_{CM} = \frac{m s^2}{6}\,\!.
Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали. Moment of Inertia Cuboid.jpg I =  \frac{m\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2D^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)} Для куба с длиной ребра s, I = \frac{m s^2}{6}\,\!.
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m Recplane.svg 
I_c = \frac {m(h^2 + w^2)}{12}\,\!  [1]
Стержень длины L и массы m Moment of inertia rod center.png I_{\mathrm{center}} = \frac{m L^2}{12} \,\!  [1] Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = 0.
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m
(Ось вращения в конце пластины)
Recplaneoff.svg I_e = \frac {m h^2}{3}+\frac {m w^2}{12}\,\!
Стержень длины L и массы m
(Ось вращения на конце стержня)
Moment of inertia rod end.png I_{\mathrm{end}} = \frac{m L^2}{3} \,\!  [1] Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = 0.
Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m. Torus cycles.png Ось вращения относительно диаметра: \frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m  [4]
Ось вращения относительно вертикальной оси: \left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m  [4]
Плоскость многоугольника с вершинами \vec{P}_{1}, \vec{P}_{2}, \vec{P}_{3}, ..., \vec{P}_{N} и массой m, равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат. Polygon moment of inertia.png I=\frac{m}{6}\frac{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|(\vec{P}^{2}_{n+1}+\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n}+\vec{P}_{n}^{2})}{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|}
Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам

(т.е.  \rho(x,y) = \tfrac{m}{2\pi ab}\, e^{-((x/a)^2+(y/b)^2)/2}

где:  \rho(x,y) — плотность масс как функция x и y).

Gaussian 2d.png I = m (a^2+b^2) \,\!
Две точечные массы M и m на расстоянии x друг от друга  I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2  \mu приведённая масса.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 Raymond A. Serway Physics for Scientists and Engineers, second ed.. — Saunders College Publishing, 1986. — P. 202. — ISBN 0-03-004534-7
  2. Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com.
  3. 1 2 Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr Vector Mechanics for Engineers, fourth ed.. — McGraw-Hill, 1984. — P. 911. — ISBN 0-07-004389-2
  4. 1 2 Eric W. Weisstein. Moment of Inertia — Ring. Wolfram Research. Архивировано из первоисточника 29 июля 2012.