Список непериодичных наборов плиток

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В Геометрии замощение — это разбиение плоскости (или другой геометрической структуры) на замкнутые множества (называемые плитками) без промежутков и наложений (отличных от границ плиток)[1]. Замощение считается периодическим, если существуют параллельные переносы в двух независимых направлениях, которые переносят плитки в точно такие же. Такое замощение состоит из одной фундаментальной единицы или примитивной ячейки, которые повторяются бесконечно в двух независимых направлениях[2]. Пример такого замощения показан на иллюстрации справа. Замощения, которые нельзя построить из единственной примитивной ячейки, называются непериодичными. Если данный набор плиток позволяет только непериодичное замощение, такой набор называется непериодичным[en] [3] Замощения, полученные из непериодичных наборов плиток, часто называют непериодичными мозаиками[en], хотя, строго говоря, следует говорить о непериодичных плитках.

Первая таблица объясняет сокращения, используемые во второй таблице. Вторая таблица содержит все известные непериодичные наборы плиток и даёт некоторую дополнительную базовую информацию о каждом наборе. Этот список плиток остаётся неполным.

Объяснения[править | править код]

Сокращение Значение Объяснение
E2 Евклидова плоскость обычная плоскость
H2 Гиперболическая
плоскость
[en]
плоскость, где не выполняется аксиома параллельности
E3 Евклидово
трёхмерное
пространство
пространство, определённое тремя перпендикулярными осями координат
ЛВП Локально взаимно производные говорят, что две плитки локально взаимно производные друг из друга, если одна плитка получается из другой простым локальным правилом (таким как удаление или вставка ребра)

Список[править | править код]

Рисунок Название Число плиток Простран-
ство
Дата публикации Ссылки Комментарии
Trilobite and cross.svg
Плитки «Трилобит» и «Крест» 2 E2 1999 [4] ЛВП с плитками «Стул» (квадрат с вырезанной четвертинкой)
Penrose P1.svg
Плитки Пенроуза P1 6 E2 1974[Note 1] [5] ЛВП с плитками P2 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Kite Dart.svg
Плитки Пенроуза P2 2 E2 1977[Note 2] [6] ЛВП с плитками P1 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Penrose rhombs.svg
Плитки Пенроуза P3 2 E2 1978[Note 3] [7] ЛВП с плитками P1 и P2, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Binary tiles.svg
Двойные плитки 2 E2 1988 [8]

[9]

Хотя плитки похожи на плитки из P3, плитки не являются ЛВП друг из друга. Мозаика разработана в попытках смоделировать расположение атомов в двойных сплавах
Robinson tiles.svg
Плитки Робинсона[en] 6 E2 1971[Note 4] [10] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Нет рисунка Плитки Амманна A1 6 E2 1977[11] [12] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечного иерархического двоичного дерева.
Ammann A2.svg
Плитки Амманна A2 2 E2 1986[Note 5] [13]
Ammann A3.svg
Плитки Амманна A3 3 E2 1986[Note 5] [13]
Ammann A4.svg
Плитки Амманна A4 2 E2 1986[Note 5] [13][14] ЛВП с плитками Амманна A5.
Ammann A5.svg
Плитки Амманна A5 2 E2 1982[Note 6] [15]

[16]

ЛВП с плитками Амманна A4.
Нет рисунка Плитки Пенроуза «Шестиугольник, Треугольник» 2 E2 1997[17] [17][18]
Нет рисунка Плитки «Золотой треугольник»[19] 10 E2 2001[20] [21] Дата соответствует времени открытия правил соединения. Двойственные плиткам Амманна A2
Socolar.svg
Плитки Соколара 3 E2 1989[Note 7] [22][23] ЛВП с плитками «Щит»
Shield.svg
Плитки «Щит» 4 E2 1988[Note 8] [24][25] ЛВП с плитками Соколара
Square triangle tiles.svg
Плитки «Квадрат, Треугольник» 5 E2 1986[26] [27]
Self-replication of sphynx hexidiamonds.svg
Мозаика «Сфинкс» 91 E2 [28]
Starfish ivyleaf hex.svg
Плитки «Звезда, лодка, шестиугольник» 3 E2 [29][30][31] ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и треугольниками Робинсона
Robinson triangle decompositions.svg
Треугольник Робинсона 4 E2 [12] Плитки ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и «Звезда, лодка, шестиугольник».
Danzer triangles.svg
Треугольники Данцера 6 E2 1996[32] [33]
Pinwheel 1.svg
Плитки «Вертушка» E2 1994[34][35] [36][37] Дата соответствует публикации правил соединения.
Socolar-Taylor tile.svg
Плитка Соколара-Тейлора[en] 1 E2 2010 [38][39] Несвязная плитка. Непериодичная иерархическая мозаика.
Нет рисунка Плитки Вана 20426 E2 1966 [40]
Нет рисунка Плитки Вана 104 E2 2008 [41]
Нет рисунка Плитки Вана 52 E2 1971[Note 4] [42] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Wang 32 tiles.svg
Плитки Вана 32 E2 1986 [43] локально производные из плиток Пенроуза.
Нет рисунка Плитки Вана 24 E2 1986 [43] локально производные из плиток A2
Wang 16 tiles.svg
Плитки Вана 16 E2 1986 [44]

[45]

Производные из плиток A2 и их полос Амманна
Wang 14 tiles.svg
Плитки Вана 14 E2 1996 [46][47]
Wang 13 tiles.svg
Плитки Вана 13 E2 1996 [48][49]
Нет рисунка Плитка «Десятиугольная губка» 1 E2 2002 [50][51] Пористая плитка, состоящая из непересекающихся множеств точек
Нет рисунка Строго непериодичные плитки Гудмана—Страусса 85 H2 2005 [52]
Нет рисунка Строго непериодичные плитки Гудмана—Страусса 26 H2 2005 [53]
Goodman-Strauss hyperbolic tile.svg
Гиперболическая плитка Бороцки (Böröczky) 1 Hn 1974[54] [55][56] Лишь слабо непериодична
Нет рисунка Плитка Шмитта 1 E3 1988 [57] периодична по винту[en]
SCD tile.svg
Плитка Шмитта-Конвея-Данцера 1 E3 [57] периодична по винту[en] и выпукла
Socolar Taylor 3D.svg
Плитка Соколара-Тейлора[en] 1 E3 2010 [38][39] Периодична в третьем измерении
Нет рисунка Ромбоэдр Пенроуза 2 E3 1981[58] [59][60][61][62][63][64][65]
Nets for icosahedral aperiodic tile set.svg
Ромбоэдры Макея-Амманна 4 E3 1981 [66] Обладают икосаэдральной симметрией[en]. Это декорированные ромбоэдры Пенроуза с правилами соединения, обеспечивающими непериодичность.
Нет рисунка Кубики Вана 21 E3 1996 [67]
Нет рисунка Кубики Вана 18 E3 1999 [68]
Нет рисунка Тетраэдры Данцера 4 E3 1989[69] [70]
I and L tiles.png
Плитки I и L 2 En
для всех
n ≥ 3
1999 [71]

Примечания[править | править код]

Впервые опубликовано в

1.^ Penrose, R. (1974), "The role of Aesthetics in Pure and Applied Mathematical Research", Bull. Inst. Math. and its Appl. 10: 266-271
2.^ Gardner, M. (January 1977), "Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles", Scientific American 236: 110-121
3.^ Penrose, R. (1978), "Pentaplexity", Eureka 39: 16-22
4.^ Robinson, R. (1971), "Undecidability and nonperiodicity of tilings in the plane", Inv. Math. 12: 177-209
5.^ Grünbaum, Shephard, 1986.
6.^ Beenker, F. P. M.(1982), "Algebraic theory of non-periodic tilings of the plane by two simple building blocks: a square and a rhombus", Eindhoven University of Technology, TH Report 82-WSK04
7.^ Socolar, J. E. S. (1989), "Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals", Phys. Rev. A 39: 10519-51
8.^ Gähler, F., "Crystallography of dodecagonal quasicrystals", published in Janot, C.: Quasicrystalline materials : Proceedings of the I.L.L. / Codest Workshop, Grenoble, 21–25 March 1988. Singapore : World Scientific, 1988, 272-284
  1. Tilings by Regular Polygons // Math. Mag.. — 1977. — Т. 50, вып. 5. — С. 227–247. — DOI:10.2307/2689529.(архив WebCite)
  2. Edwards S., Fundamental Regions and Primitive cells (архив WebCite)
  3. Stan Wagon. Mathematica in action. — 2nd. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1998. — С. 216 (9.1 NonPeriodic Tilings). — ISBN 0-387-98252-3.
  4. A Small Aperiodic Set of Planar Tiles // European Journal of Combinatorics. — 1999. — Т. 20, вып. 5. — С. 375–384. — DOI:10.1006/eujc.1998.0281. (доступен препринт here)
  5. Mikhael J. Colloidal Monolayers On Quasiperiodic Laser Fields (см. страницу 23) (архив WebCite)
  6. Gardner M. Penrose tiles to trapdoor ciphers (см. страницу 86) (архив WebCite)
  7. Pentaplexity // Math. Intell.. — 1979/80. — Т. 2. — С. 32–37. — DOI:10.1007/bf03024384.(архив WebCite)
  8. Two-dimensional system with a quasi-crystalline ground state // J. Phys. France. — 1988. — Т. 49, вып. 2. — С. 249–256. — DOI:10.1051/jphys:01988004902024900. (архив WebCite)
  9. A simple example of a non-Pisot tiling with five-fold symmetry // J. Phys. I France. — 1992. — Т. 2, вып. 2. — С. 207–220. — DOI:10.1051/jp1:1992134.(архив WebCite)
  10. Aperiodic Hierarchical tilings // Proc. of NATO-ASI "Foams, Emulsions, and Cellular Materials" Ser. E. — 1999. — Т. 354. — С. 481–496. — DOI:10.1007/978-94-015-9157-7_28.
  11. The Colossal Book of Mathematics. — W. W. Norton & Company, 2001. — С. 76.
  12. 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986, согласно [1]; [2]
  13. 1 2 3 Aperiodic Tiles // Discrete Comp Geom. — 1992. — Т. 8. — С. 1–25. — DOI:10.1007/BF02293033.
  14. Harris E., Frettlöh D. Ammann A4
  15. Representation of Ammann-Beenker tilings by an automaton // Nihonkai Math. J.. — 2004. — Т. 15. — С. 109–118. (архив WebCite)
  16. Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker
  17. 1 2 R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody R.V.. — Nato Asi Series C. — Dordrecht: Kluwer, 1997. — Т. 489. — С. 467–497. — ISBN 978-0-7923-4506-0. — DOI:10.1007/978-94-015-8784-6_18. R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody R.V.. — Springer Verlag GMBH, 2010. — Т. 489. — С. 467–497. — (Nato Asi Series U). — ISBN 9048148324. — DOI:10.1007/978-94-015-8784-6_18.
  18. C. Goodman-Strauss, An aperiodic pair of tiles
  19. Плитка не соответствует равнобедренному «Золотому треугольнику» и является прямоугольным треугольником с золотым соотношением гипотенузы к катету
  20. A species of planar triangular tilings with inflation factor  // Res. Bull. Panjab Univ. Sci.. — 2001. — Т. 50, вып. 1-4. — С. 137–175.
  21. Fractal Penrose tiles II. Tiles with fractal boundary as duals of Penrose triangles // Aequationes Math.. — 1997. — Т. 54. — С. 108–116. — DOI:10.1007/bf02755450.
  22. Dodecagonal tilings as maximal cluster coverings. Проверено 25 сентября 2013.
  23. The Socolar tiling
  24. Gähler F., Frettlöh D. Shield
  25. Matching rules for quasicrystals: the composition-decomposition method // J. of Non-crystalline Solids. — 1993. — Т. 153&154. — С. 160–164. — DOI:10.1016/0022-3093(93)90335-u.(архив WebCite)
  26. A Dodecagonal Quasiperiodic Lattice in Two Dimensions // Helv. Phys. Acta.. — 1986. — Т. 59. — С. 1260–1263.
  27. Hermisson J., Richard C., Baake M. A Guide to the Symmetry Structure of Quasiperiodic Tiling Classes (архив WebCite)
  28. Goodman-Strauss C., Aperiodic tilings (см. страницу 74)
  29. Quasicrystals and Penrose patterns // Current Science. — 1991. — Т. 61. — С. 315.
  30. A two dimensional aperiodic dense tiling // J. Phys. France. — 1989. — Т. 50. — С. 19–33. — DOI:10.1051/jphys:0198900500101900. (архив WebCite)
  31. Combined energy-diffraction data refinement of decagonal AlNiCo // J. Non-Cryst. Solids. — 2004. — Т. 334&335. — С. 177–183. (архив WebCite)
  32. Nischke, K-P and Danzer, L,. A construction of inflation rules based on $n$-fold symmetry // Discrete Comput. Geom.. — 1996. — Т. 15, вып. 2. — С. 221–236. — DOI:10.1007/bf02717732. 96j:52035
  33. Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Abstract:Notes on vertex atlas of planar Danzer tiling
  34. The pinwheel tilings of the plane // Annals of Mathematics. Second Series. — 1994. — Т. 139, вып. 3. — С. 661–702. — DOI:10.2307/2118575.
  35. Symmetry Of Tilings Of The Plane // Annals of Mathematics. — 1994. — DOI:10.1090/s0273-0979-1993-00425-7.
  36. Space tilings and local isomorphism // Geom. Dedicata. — 1992. — Т. 42, вып. 3. — С. 355–360. — DOI:10.1007/bf02414073.
  37. The mathematics of long-range aperiodic order. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
  38. 1 2 Socolar J. E. S. and Taylor J. M. An aperiodic hexagonal tile
  39. 1 2 Socolar J. E. S. and Taylor J. M. Forcing nonperiodicity with a single tile
  40. The Undecidability of the Domino Problem // Memoirs of the American Mathematical Society. — 1966. — Т. 66. — С. 1–72.
  41. Two-by-two Substitution Systems and the Undecidability of the Domino Problem. — Springer, 2008. — С. 476–485.
  42. Deterministic Aperiodic Tile Sets // Geometric and Functional Analysis. — 1999. — Т. 9. — С. 353–369. — DOI:10.1007/s000390050090.
  43. 1 2 Aperiodic Sets of Square Tiles with Colored Corners // Report CW. — 2006. — Т. 460. — С. 12. Архивировано 2 октября 2010 года.
  44. Grünbaum, Shephard, 1986.
  45. A. Carbone, M. Gromov, P. Prusinkiewicz. Pattern Formation in Biology, Vision and Dynamics. — Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2000. — ISBN 981-02-3792-8.
  46. Kari J. A small aperiodic set of Wang tiles". Discrete Mathematics, 160(1-3):259-264
  47. Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Dissertation (см. страницу 149) (архив WebCite)
  48. Culik K., Kari J. On aperiodic sets of Wang tiles
  49. K. Culik. An aperiodic set of 13 Wang tiles. Проверено 25 сентября 2013. Архивировано 2 октября 2010 года.
  50. Zhu F. The Search for a Universal Tile
  51. D. A. Bailey, F. Zhu. A Sponge-Like (Almost) Universal Tile. Проверено 25 сентября 2013.
  52. Goodman-Strauss C., A hierarchical strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane
  53. A strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane // Invent. Math.. — 2005. — Т. 159. — С. 130–132. — DOI:10.1007/s00222-004-0384-1. — Bibcode2004InMat.159..119G.
  54. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I // Mat. Lapok.. — 1974. — Т. 25. — С. 265–306.Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II // Mat. Lapok.. — 1974. — Т. 26. — С. 67–90.
  55. A strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane // Invent. Math.. — 2005. — Т. 159. — С. 120. — DOI:10.1007/s00222-004-0384-1. — Bibcode2004InMat.159..119G.
  56. Dolbilin N., Frettlöh D. Properties of Böröczky tilings in high dimensional hyperbolic spaces (архив WebCite)
  57. 1 2 Aperiodic tilings in higher dimensions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1995. — Т. 123, вып. 11. — С. 3543–3548. — DOI:10.2307/2161105.
  58. Маккей Аллан. JI. DE NTVE QUINQUANGULA о пятиугольных снежинках // Кристаллография. — 1981. — Т. 26, вып. 5. — С. 910-919.. (архив WebCite)
  59. Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Experiments on the growth kinetics of decagonal quasicrystals) Dissertation (см. страницу 18-19) (архив WebCite)
  60. Structure Transition of the Three-Dimensional Penrose Tiling Under Phason Strain Field // Chinese Phys. Lett.. — 1993. — Т. 10, No.8. — С. 449–452. — DOI:10.1088/0256-307x/10/8/001. (архив WebCite)
  61. Inchbald G. A 3-D Quasicrystal Structure
  62. Quasicrystals: tiling versus clustering // Phil. Mag. A. — 2001. — Т. 81. — С. 2645–2651. — DOI:10.1080/01418610108216660. (архив WebCite)
  63. Rudhart C. P. Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (On the numeric simulation of cracking in quasicrystals) см. страницу 11
  64. Tilings, coverings, clusters and quasicrystals // Current Science. — 2000. — Т. 78, вып. 1. — С. 64–72. (архив WebCite)
  65. Theory of Matching Rules for the 3-Dimensional Penrose Tilings // Commun. Math. Phys.. — 1988. — Т. 118, вып. 2. — С. 263–288. — DOI:10.1007/BF01218580. (архив WebCite)
  66. Eric A. Lord. Quasicrystals and Penrose patterns // Current Science. — 1991. — Т. 61, вып. 5. — С. 313.
  67. K. Culik, J. Kari. An aperiodic set of Wang cubes. Проверено 25 сентября 2013.
  68. G. Walther, C. Selter. Mathematikdidaktik als design science. — Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, 1999. — ISBN 3122000601.
  69. L. Danzer. Three-Dimensional Analogs of the Planar Penrose Tilings and Quasicrystals // Discrete Mathematics. — 1989. — Т. 76. — С. 1–7. — DOI:10.1016/0012-365X(89)90282-3.
  70. Zerhusen A., Danzer’s three dimensional tiling
  71. An Aperiodic Pair of Tiles in En for all n ≥ 3 // European Journal of Combinatorics. — 1999. — Т. 20, вып. 5. — С. 385–395. — DOI:10.1006/eujc.1998.0282. (доступен препринт here)

Литература[править | править код]

  • B. Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — New York: W.H. Freeman and Company, 1986. — ISBN 0-7167-1193-1.

Ссылки[править | править код]