Список правильных многомерных многогранников и соединений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Примеры правильных многогранников
Правильные (2D) многоугольники
Выпуклые Звёздчатые
Regular pentagon.svg
{5}
Star polygon 5-2.svg
{5/2}
Правильные 3D-многогранники
Выпуклые Звёздчатые
Dodecahedron.png
{5,3}
Small stellated dodecahedron.png
{5/2,5}
Правильные 2D-замощения
Евклидовы Гиперболические
Uniform tiling 44-t0.svg
{4,4}
Uniform tiling 54-t0.png
{5,4}[en]
Правильные 4D-многогранники
Выпуклые Звёздчатые
Schlegel wireframe 120-cell.png
{5,3,3}
Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png
{5/2,5,3}[en]
Правильные 3D-замощения
Евклидовы Гиперболические
Cubic honeycomb.png
{4,3,4}[en]*
Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
{5,3,4}

Эта страница содержит список правильных многомерных многогранников (политопов) и правильных cоединений этих многогранников в евклидовом, сферическом и гиперболическом пространствах разных размерностей.

Символ Шлефли описывает каждое правильное замощение n-сферы, евклидова и гиперболического пространства. Символ Шлефли описания n-мерного многогранника равным образом описывает мозаику (n-1)-сферы. Вдобавок, симметрия правильного многогранника или замощения выражается как группа Коксетера, которые Коксетер обозначал идентично символам Шлефли, за исключением разграничения квадратными скобками, и эта нотация называется нотацией Коксетера[en]. Другой связанный символ — диаграмма Коксетера — Дынкина, которая представляет группу симметрии (без помеченных кружком узлов) и правильные многогранники или замощения с обведённым кружком первым узлом. Например, куб имеет символ Шлефли {4,3}, с его октаэдральной симметрией[en] [4,3] или CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, представляется диаграммой Коксетера CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Правильные многогранники сгруппированы по размерности, а затем по форме — выпуклые, невыпуклые и бесконечные. Невыпуклые виды используют те же вершины, что и выпуклые, но имеют пересекающиеся фасеты (грани максимальной размерности = размерности пространства – 1). Бесконечные виды замощают евклидово пространство на единицу меньшей размерности.

Бесконечные формы можно расширить до замощения гиперболического пространства. Гиперболическое пространство подобно обычному пространству, но параллельные прямые с расстоянием расходятся. Это позволяет вершинным фигурам иметь отрицательные угловые дефекты. Например, в вершине может сходиться семь правильных треугольников, лежащих на плоскости. Это нельзя осуществить на обычной (евклидовой) плоскости, но можно сделать при некотором масштабе на гиперболической плоскости.

Многогранники, удовлетворяющие более общему определению и не имеющие простых символов Шлефли, включают правильные косые многогранники и бесконечноугольные правильные косые многогранники с неплоскими фасетами или вершинными фигурами.

Содержание

Обзор[править | править код]

Таблица показывает сводку правильных многогранников по размерностям.

Конечные Евклидовы Гиперболические Соединения
Разм. Выпук-
лые
Звёзд-
чатые
Косые Выпук-
лые
Компак-
тные
Звёзд-
чатые
Параком-
пактные
Выпук-
лые
Звёзд-
чатые
1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0
3 5 4 ? 3 5 0
4 6 10 ? 1 4 0 11 26 20
5 3 0 ? 3 5 4 2 0 0
6 3 0 ? 1 0 0 5 0 0
7 3 0 ? 1 0 0 0 3 0
8 3 0 ? 1 0 0 0 6 0
9+ 3 0 ? 1 0 0 0 * 0

* 1, если размерность имеет вид 2k − 1, 2, если размерность является степенью двойки, 0 в противном случае.

Не существует правильных звёздчатых замощений в евклидовом пространстве любой размерности.

Одномерное пространство[править | править код]

Coxeter node markup (ru).svg Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет зеркальные "плоскости" как узлы, и помещает кружок вокруг узла, если точка не лежит на плоскости. Отрезок, { }, CDel node 1.png — это точка p и зеркальный образ точки p, а также отрезок между ними.

Одномерный многогранник (1-многогранник) — это замкнутый отрезок, ограниченный двумя конечными точками. 1-многогранник является правильным по определению и представляется символом Шлефли { }[1][2] или диаграммой Коксетера с единственным помеченным кружком узлом, CDel node 1.png. Норман Джонсон[en] дал им название дайтел и символ Шлефли { } [3].

Будучи тривиальным в качестве многогранника, дайтел возникает в качестве рёбер многоугольников и многогранников[4]. Он используется в определении однородных призм (как в символе Шлефли { }×{p}) или в диаграмме Коксетера CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png как прямое произведение отрезка и правильного многоугольника [5].

Двумерное пространство (многоугольники)[править | править код]

Двумерные многогранники называются многоугольниками. Правильные многоугольники имеют равные стороны и вписаны в окружность. Правильный p-угольник представляется символом Шлефли {p}.

Обычно только выпуклые многоугольники считаются правильными, но звёздчатые многоугольники наподобие пентаграммы можно также считать правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединение происходит другим путём, при котором окружность обходится более одного раза.

Звёздчатые многоугольники следует называть скорее невыпуклыми, чем вогнутыми, поскольку пересечение рёбер не образует новых вершин и все вершины находятся на окружности.

Выпуклые[править | править код]

Символ Шлефли {p} представляет правильный p-угольник.

Название Треугольник
(2-симплекс)
Квадрат
(2-ортоплекс)
(2-куб)
Пятиугольник Шестиугольник Семиугольник Восьмиугольник
Шлефли {3} {4} {5} {6} {7} {8}
Симметрия D3, [3] D4, [4] D5, [5] D6, [6] D7, [7] D8, [8]
Коксетер CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
Рисунок Regular triangle.svg Regular quadrilateral.svg Regular pentagon.svg Regular hexagon.svg Regular heptagon.svg Regular octagon.svg
Название Девятиугольник Десятиугольник Одиннадцатиугольник Двенадцатиугольник Тринадцатиугольник Четырнадцатиугольник
Шлефли {9} {10} {11} {12} {13} {14}
Симметрия D9, [9] D10, [10] D11, [11] D12, [12] D13, [13] D14, [14]
Дынкин CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 13.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 14.pngCDel node.png
Рисунок Regular nonagon.svg Regular decagon.svg Regular hendecagon.svg Regular dodecagon.svg Regular tridecagon.svg Regular tetradecagon.svg
Название Пятнадцатиугольник Шестнадцатиугольник Семнадцатиугольник Восемнадцатиугольник Девятнадцатиугольник Двадцатиугольник ...p-угольник
Шлефли {15} {16} {17} {18} {19} {20} {p}
Симметрия D15, [15] D16, [16] D17, [17] D18, [18] D19, [19] D20, [20] Dp, [p]
Дынкин CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 16.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 18.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 19.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
Рисунок Regular pentadecagon.svg Regular hexadecagon.svg Regular heptadecagon.svg Regular octadecagon.svg Regular enneadecagon.svg Regular icosagon.svg

Сферические[править | править код]

Правильный двуугольник {2} можно считать вырожденным правильным многоугольником. Он может существовать как невырожденный в некоторых неевклидовых пространствах, таких как поверхность сферы или тора.

Название Одноугольник Двуугольник
Символ Шлефли {1} {2}
Симметрия D1, [ ] D2, [2]
Коксетер diagram CDel node.png или CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Рисунок Monogon.svg Digon.svg

Звёзды[править | править код]

Существует бесконечно много правильных звёздчатых многогранников в двумерном пространстве (т.е. многоугольников), символы Шлефли которых являются рациональными числами {n/m}. Они называются звёздчатыми многоугольниками и имеют то же самое расположение вершин[en], что и у выпуклого многоугольника.

В общем случае для любого натурального числа n и для всех m, таких, что m < n/2 и m, n взаимно просты, существуют n-точечные правильные звёзды с символами Шлефли {n/m} (строго говоря, {n/m}={n/(nm)}) .

Название Пентаграмма Гептаграммы Октаграмма Эннеаграммы Декаграмма[en] ...n-граммы
Шлефли {5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} {p/q}
Симметрия D5, [5] D7, [7] D8, [8] D9, [9], D10, [10] Dp, [p]
Коксетер CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel dq.pngCDel node.png
Рисунок Regular star polygon 5-2.svg Regular star polygon 7-2.svg Regular star polygon 7-3.svg Regular star polygon 8-3.svg Regular star polygon 9-2.svg Regular star polygon 9-4.svg Regular star polygon 10-3.svg  
Правильные звёздчатые многоугольники с числом сторон до 20
Regular star polygon 11-2.svg
{11/2}
Regular star polygon 11-3.svg
{11/3}
Regular star polygon 11-4.svg
{11/4}
Regular star polygon 11-5.svg
{11/5}
Regular star polygon 12-5.svg
{12/5}
Regular star polygon 13-2.svg
{13/2}
Regular star polygon 13-3.svg
{13/3}
Regular star polygon 13-4.svg
{13/4}
Regular star polygon 13-5.svg
{13/5}
Regular star polygon 13-6.svg
{13/6}
Regular star polygon 14-3.svg
{14/3}
Regular star polygon 14-5.svg
{14/5}
Regular star polygon 15-2.svg
{15/2}
Regular star polygon 15-4.svg
{15/4}
Regular star polygon 15-7.svg
{15/7}
Regular star polygon 16-3.svg
{16/3}
Regular star polygon 16-5.svg
{16/5}
Regular star polygon 16-7.svg
{16/7}
Regular star polygon 17-2.svg
{17/2}
Regular star polygon 17-3.svg
{17/3}
Regular star polygon 17-4.svg
{17/4}
Regular star polygon 17-5.svg
{17/5}
Regular star polygon 17-6.svg
{17/6}
Regular star polygon 17-7.svg
{17/7}
Regular star polygon 17-8.svg
{17/8}
Regular star polygon 18-5.svg
{18/5}
Regular star polygon 18-7.svg
{18/7}
Regular star polygon 19-2.svg
{19/2}
Regular star polygon 19-3.svg
{19/3}
Regular star polygon 19-4.svg
{19/4}
Regular star polygon 19-5.svg
{19/5}
Regular star polygon 19-6.svg
{19/6}
Regular star polygon 19-7.svg
{19/7}
Regular star polygon 19-8.svg
{19/8}
Regular star polygon 19-9.svg
{19/9}
Regular star polygon 20-3.svg
{20/3}
Regular star polygon 20-7.svg
{20/7}
Regular star polygon 20-9.svg
{20/9}

Пространственные многоугольники[править | править код]

В 3-мерном пространстве правильный пространственный многоугольник [6] называется антипризматическим многоугольником и он имеет то же расположение вершин[en], что и у антипризмы, и его рёбра являются подмножеством рёбер антипризмы, соединяющие зигзагом вершины верхнего и нижнего многоугольников.

Пример правильного пространственного (зигзаг-) многоугольника
Шестиугольник Восьмиугольник Десятиугольник
D3d, [2+,6] D4d, [2+,8] D5d, [2+,10]
{3}#{ } {4}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }
Skew polygon in triangular antiprism.png Skew polygon in square antiprism.png Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png

В 4-мерном пространстве правильный пространственный многоугольник может иметь вершины на торе Клиффорда и связан с вращением Клиффорда[en]. В отличие от антипризматичных пространственных многоугольников, пространственные многоугольники двойного вращения могут иметь нечётное число сторон.

Их можно видеть в многоугольниках Петри выпуклых правильных четырёхмерных многогранников[en], видимые как правильные плоские многоугольники периметров проекций Коксетера:

Пятиугольник Восьмиугольник Двенадцатиугольник Тридцатиугольник
4-simplex t0.svg
Пятиячейник
4-orthoplex.svg
Шестнадцатиячейник
24-cell t0 F4.svg
Двадцатичетырёхъячейник
600-cell graph H4.svg
Шестисотъячейник

Трёхмерное пространство (многогранники)[править | править код]

В трёхмерном пространстве правильный многогранник с символом Шлефли {p,q} и диаграммой Коксетера CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png имеет правильные грани вида {p} и правильную вершинную фигуру {q}.

Вершинная фигура (многогранника) является многоугольником, получаемым соединением вершин, отстоящих на одно ребро от заданной вершины. Для правильных трёхмерных многогранников, эта вершинная фигура является всегда правильным (и планарным) многоугольником.

Существование правильного многогранника {p,q} ограничено неравенством, относящимся к угловому дефекту вершинной фигуры:

 : Многогранник (существует в евклидовом 3-мерном пространстве)
 : Евклидова плоская мозаика
 : Замощение гиперболической плоскости

Перенумеровав перестановки, мы найдём 5 выпуклых форм, 4 звёздчатые формы и 3 плоских замощения, все с многоугольниками {p} и {q} из списка: {3}, {4}, {5}, {5/2} и {6}.

Вдобавок к мозаикам евклидова пространства существует бесконечное количество правильных гиперболических мозаик.

Выпуклые[править | править код]

Пять выпуклых правильных многогранников называются платоновыми телами. Вершинная фигура указана вместе с числом вершин. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ) 2.

Название Шлефли
{p,q}
Коксетер
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Рисунок
(прозрачный)
Рисунок
(тело)
Рисунок
(сфера)
Граней
{p}
Рёбер Вершин
{q}
Симметрия Двойственный
Тетраэдр
(3-симплекс)
{3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Tetrahedron.svg Tetrahedron.png Uniform tiling 332-t0-1-.png 4
{3}
6 4
{3}
Td
[3,3]
(*332)
(самодвойственен)
Шестигранник
Куб
(3-куб)
{4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Hexahedron.svg Hexahedron.png Uniform tiling 432-t0.png 6
{4}
12 8
{3}
Oh
[4,3]
(*432)
Октаэдр
Октаэдр
(3-ортоплекс)
{3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Octahedron.svg Octahedron.png Uniform tiling 432-t2.png 8
{3}
12 6
{4}
Oh
[4,3]
(*432)
Куб
Додекаэдр {5,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Dodecahedron.svg Dodecahedron.png Uniform tiling 532-t0.png 12
{5}
30 20
{3}
Ih
[5,3]
(*532)
Икосаэдр
Икосаэдр {3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Icosahedron.svg Icosahedron.png Uniform tiling 532-t2.png 20
{3}
30 12
{5}
Ih
[5,3]
(*532)
Додекаэдр

Сферические[править | править код]

В сферической геометрии существуют правильные сферические многогранники (мозаики на cфере), которые в нормальном случае являются вырожденными многогранниками. Это осоэдры {2,n} и двойственные им диэдры {n,2}. Коксетер называет такие случаи "несобственными" замощениями [7].

Несколько первых примеров (n от 2 до 6) приведены ниже.

Осоэдры
Название Шлефли
{2,p}
Коксетер
diagram
Рисунок
(sphere)
Граней
{2}π/p
Рёбер Вершин
{p}
Симметрия Двойственный
Двуугольный осоэдр {2,2} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png Spherical digonal hosohedron.png 2
{2}π/2
2 2
{2}π/2
D2h
[2,2]
(*222)
Самодвойственен
Треугольный осоэдр {2,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Spherical trigonal hosohedron.png 3
{2}π/3
3 2
{3}
D3h
[2,3]
(*322)
Треугольный диэдр
Квадратный осоэдр {2,4} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Spherical square hosohedron.png 4
{2}π/4
4 2
{4}
D4h
[2,4]
(*422)
Квадратный диэдр
Пятиугольный осоэдр {2,5} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Spherical pentagonal hosohedron.png 5
{2}π/5
5 2
{5}
D5h
[2,5]
(*522)
Пятиугольный диэдр
Шестиугольный осоэдр {2,6} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png Spherical hexagonal hosohedron.png 6
{2}π/6
6 2
{6}
D6h
[2,6]
(*622)
Шестиугольный диэдр
Диэдры
Название Шлефли
{p,2}
Диаграмма
Коксетера
Рисунок
(сфера)
Граней
{p}
Рёбер Вершин
{2}
Симметрия Двойственный
Двуугольный диэдр {2,2} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png Digonal dihedron.png 2
{2}π/2
2 2
{2}π/2
D2h
[2,2]
(*222)
Самодвойственен
Треугольный диэдр {3,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png Trigonal dihedron.png 2
{3}
3 3
{2}π/3
D3h
[3,2]
(*322)
Треугольный осоэдр
Квадратный диэдр {4,2} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png Tetragonal dihedron.png 2
{4}
4 4
{2}π/4
D4h
[4,2]
(*422)
Квадратный осоэдр
Пятиугольный диэдр {5,2} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png Pentagonal dihedron.png 2
{5}
5 5
{2}π/5
D5h
[5,2]
(*522)
Пятиугольный осоэдр
Шестиугольный диэдр {6,2} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png Hexagonal dihedron.png 2
{6}
6 6
{2}π/6
D6h
[6,2]
(*622)
Шестиугольный осоэдр

Звёздчатые диэдры и осоэдры также существуют, такие как {5/2,2} и {2,5/2}.

Звёзды[править | править код]

Правильные звёздчатые многогранники называются телами Кеплера — Пуансо и их существует четыре. Они основываются на расположении вершин[en] додекаэдра {5,3} и икосаэдра {3,5}:

Как cферические мозаики эти звёздчатые формы перекрывают сферу несколько раз, что называется их плотностью. Для этих форм плотность равна 3 или 7. Рисунки мозаик показывают грани отдельных сферических многоугольников жёлтым цветом.

Название Рисунок
(прозрачный)
Рисунок
(непрозрачный)
Рисунок
(сферический)
Диаграмма образования
звёздчатой
формы
Шлефли
{p,q} и
Коксетер
Граней
{p}
Рёбер Вершин
{q}
Фигура
χ Плот-
ность
[en]
Симметрия Двойственный
Малый звёздчатый додекаэдр SmallStellatedDodecahedron.jpg Small stellated dodecahedron.png Small stellated dodecahedron tiling.png First stellation of dodecahedron facets.svg {5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
Pentagram.svg
30 12
{5}
Pentagon.svg
−6 3 Ih
[5,3]
(*532)
Большой додекаэдр
Большой додекаэдр GreatDodecahedron.jpg Great dodecahedron.png Great dodecahedron tiling.png Second stellation of dodecahedron facets.svg {5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
12
{5}
Pentagon.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
−6 3 Ih
[5,3]
(*532)
Малый звёздчатый додекаэдр
Большой звёздчатый додекаэдр GreatStellatedDodecahedron.jpg Great stellated dodecahedron.png Great stellated dodecahedron tiling.png Third stellation of dodecahedron facets.svg {5/2,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
Pentagram.svg
30 20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
2 7 Ih
[5,3]
(*532)
Большой икосаэдр
Большой икосаэдр GreatIcosahedron.jpg Great icosahedron.png Great icosahedron tiling.png Sixteenth stellation of icosahedron facets.png {3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
2 7 Ih
[5,3]
(*532)
Большой звёздчатый додекаэдр

Косые многогранники[править | править код]

Правильный косой многогранник является обобщением множества правильных многогранников, в котором допускается непланарность вершинных фигур.

Для 4-мерных косых многогранников Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n}, имеющих вершинную фигуру {l,m}, m l-угольников вокруг вершины с n-угольными дырами. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, представляющими зигзаги между двумя плоскостями.

Для правильных косых многогранников, представленных символом {l,m|n}, выполняется равенство:

2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)

Четыре из них можно видеть в 4-мерном пространстве как множество граней четырёх правильных четырёхмерных многогранников, имеющих одно и то же расположение вершин[en] и расположение рёбер[en]:

4-simplex t03.svg 4-simplex t12.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t12 F4.svg
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3}

Четырёхмерное пространство[править | править код]

Правильные 4-мерные многогранники[en] с символом Шлефли имеют ячейки вида , грани вида , рёберные фигуры и вершинные фигуры .

  • Вершинная фигура (4-мерного многогранника) является (3-мерным) многогранником, образованным соседними к данной вершине вершинами многогранника. Для правильных четырёхмерных многогранников эта вершинная фигура является правильным (3-мерным) многогранником.
  • Рёберной фигурой является многоугольник, образованный прилегающими к ребру гранями. Для правильных четырёхмерных многогранников рёберной фигурой всегда будет правильный многоугольник.

Существование правильных четырёхмерных многогранников ограничено существованием правильного многогранника . Для 4-мерных многогранников предлагается использовать название "полихор"[8][9]

Каждый вид может существовать в пространстве, зависящем от следующего выражения:

 : Гиперсферические 3-мерные соты или 4-мерные многогранники
 : Евклидовы 3-мерные соты
 : Гиперболические 3-мерные соты

Эти ограничения допустимы для 21 форм — 6 форм выпуклы, 10 не выпуклы, одна является евклидовыми 3-мерными сотами и 4 являются гиперболическими сотами.

Эйлерова характеристика четырёхмерного многогранника вычисляется по формуле и равна нулю для всех видов.

Выпуклые[править | править код]

6 выпуклых правильных четырёхмерных многогранников показаны в таблице ниже. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ) 0.

Название
Шлефли
{p,q,r}
Коксетер
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
Ячейки[en]
{p,q}
Граней
{p}
Рёбер
{r}
Вершин
{q,r}
Двойственный
{r,q,p}
Пятиячейник
(4-симплекс)
{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 5
{3,3}
10
{3}
10
{3}
5
{3,3}
(самодвойственен)
Тессеракт
(4-куб)
{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 8
{4,3}
24
{4}
32
{3}
16
{3,3}
Шестнадцатиячейник
Шестнадцатиячейник
(4-ортоплекс)
{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 16
{3,3}
32
{3}
24
{4}
8
{3,4}
Тессеракт
Двадцатичетырёхъячейник {3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24
{3,4}
96
{3}
96
{3}
24
{4,3}
(самодвойственен)
Стодвадцатиячейник {5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 120
{5,3}
720
{5}
1200
{3}
600
{3,3}
Шестисотъячейник
Шестисотъячейник {3,3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 600
{3,3}
1200
{3}
720
{5}
120
{3,5}
Стодвадцатиячейник
Пятиячейник Тессеракт Шестнадцати-
ячейник
Двадцати-
четырёхячейник
Стодвадцати-
ячейник
Шестисотъячейник
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
Каркас (Многоугольник Петри) в косой ортогональной проекции
Complete graph K5.svg 4-cube graph.svg 4-orthoplex.svg 24-cell graph F4.svg Cell120Petrie.svg Cell600Petrie.svg
Ортогональная проекция
Tetrahedron.png
Тетраэдральная
оболочка

(центрировано по
ячейке/вершине)
Hexahedron.png
Кубическая оболочка
(центрировано по ячейке)
16-cell ortho cell-centered.png
Кубическая
оболочка

(центрировано по ячейке)
Ortho solid 24-cell.png
Кубооктаэдральная
оболочка

(центрировано по ячейке)
Ortho solid 120-cell.png
Усечённая
ромботриаконта-
эдральная
оболочка
[en]

(центрировано по ячейке)
Ortho solid 600-cell.png
Пентакиикоси-
додекаэдральная
оболочка
[en]

(центрировано по вершине)
Диаграммы Шлегеля (перспективная проекция)
Schlegel wireframe 5-cell.png
(центрировано по ячейке)
Schlegel wireframe 8-cell.png
(центрировано по ячейке)
Schlegel wireframe 16-cell.png
(центрировано по ячейке)
Schlegel wireframe 24-cell.png
(центрировано по ячейке)
Schlegel wireframe 120-cell.png
(центрировано по ячейке)
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
(центрировано по вершине)
Каркас стереографической проекции (гиперсферический)
Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

Сферические[править | править код]

4-мерные диэдры и осоэдры существуют как правильные замощения 3-сферы.

Правильные 4-мерные диэдры (2 фасеты = 3-мерные грани) включают: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2} и их двойственные 4-мерные осоэдры (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Многогранники вида {2,p,2} являются одновременно 4-мерными диэдрами и осоэдрами. Существуют также формы {p,2,q}, которые имеют диэдральные ячейки и осоэдральные вершинные фигуры.

Правильные 4-мерные осоэдры как соты на 3-сфере
Шлефли
{2,p,q}
Коксетер
CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Ячейки[en]
{2,p}π/q
Граней
{2}π/p,π/q
Рёбер Вершин Вершинная фигура
{p,q}
Симметрия Двойственный
{2,3,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4
{2,3}π/3
Spherical trigonal hosohedron.png
6
{2}π/3,π/3
4 2 {3,3}
Uniform tiling 332-t0-1-.png
[2,3,3] {3,3,2}
{2,4,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 6
{2,4}π/3
Spherical square hosohedron.png
12
{2}π/4,π/3
8 2 {4,3}
Uniform tiling 432-t0.png
[2,4,3] {3,4,2}
{2,3,4} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 8
{2,3}π/4
Spherical trigonal hosohedron.png
12
{2}π/3,π/4
6 2 {3,4}
Uniform tiling 432-t2.png
[2,4,3] {4,3,2}
{2,5,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12
{2,5}π/3
Spherical trigonal hosohedron.png
30
{2}π/5,π/3
20 2 {5,3}
Uniform tiling 532-t0.png
[2,5,3] {3,5,2}
{2,3,5} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 20
{2,3}π/5
Spherical pentagonal hosohedron.png
30
{2}π/3,π/5
12 2 {3,5}
Uniform tiling 532-t2.png
[2,5,3] {5,3,2}

Звёзды[править | править код]

Существует десять правильных 4-мерных звёздчатых многогранника, которые называются многогранниками Шлефли—Гесса[en]. Их вершины располагаются на выпуклом стодвадцатиячейнике {5,3,3} и шестисотъячейнике {3,3,5}.

Людвиг Шлефли нашёл четыре из них и отбросил остальные шесть, поскольку не позволял нарушение эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F+V−E=2). Эдмунд Гесс (Edmund Hess, 1843–1903) завершил список в своей книге Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ([3], 1883) (Введение в учение о замощении сферы с учётом теории равногранных и равноугольных многогранников) .

Существует 4 расположения рёбер[en] и 7 расположений граней[en] в этих 10 правильных звёздчатых 4-мерных многогранниках, показанные как ортогональные проекции:

Название
Каркас Тело Шлефли
{p, q, r}
Коксетер
Ячеек
{p, q}
Граней
{p}
Рёбер
{r}
Вершин
{q, r}
Плот-
ность
[en]
χ Группа симметрии Двойственный
{r, q,p}
Икосаэдральный 120-ячейник[en]
(огранённый Шестисотячейник)
Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png Ortho solid 007-uniform polychoron 35p-t0.png {3,5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{3,5}
Icosahedron.png
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
720
{5/2}
Pentagram.svg
120
{5,5/2}
Great dodecahedron.png
4 480 H4
[5,3,3]
Малый звёздчатый 120-ячейник
Малый звёздчатый 120-ячейник[en] Schläfli-Hess polychoron-wireframe-2.png Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png {5/2,5,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,5}
Small stellated dodecahedron.png
720
{5/2}
Pentagram.svg
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
120
{5,3}
Dodecahedron.png
4 −480 H4
[5,3,3]
Икосаэдральный 120-ячейник
Большой 120-ячейник[en] Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png Ortho solid 008-uniform polychoron 5p5-t0.png {5,5/2,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
120
{5,5/2}
Great dodecahedron.png
720
{5}
Pentagon.svg
720
{5}
Pentagon.svg
120
{5/2,5}
Small stellated dodecahedron.png
6 0 H4
[5,3,3]
Самодвойственный
Великий 120-ячейник[en] Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png Ortho solid 009-uniform polychoron 53p-t0.png {5,3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{5,3}
Dodecahedron.png
720
{5}
Pentagon.svg
720
{5/2}
Pentagram.svg
120
{3,5/2}
Great icosahedron.png
20 0 H4
[5,3,3]
Большой звёздчатый 120-ячейник
Большой звёздчатый 120-ячейник[en] Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png Ortho solid 012-uniform polychoron p35-t0.png {5/2,3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,3}
Great stellated dodecahedron.png
720
{5/2}
Pentagram.svg
720
{5}
Pentagon.svg
120
{3,5}
Icosahedron.png
20 0 H4
[5,3,3]
Великий 120-ячейник
Великий звёздчатый 120-ячейник[en] Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png Ortho solid 013-uniform polychoron p5p-t0.png {5/2,5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{5/2,5}
Small stellated dodecahedron.png
720
{5/2}
Pentagram.svg
720
{5/2}
Pentagram.svg
120
{5,5/2}
Great dodecahedron.png
66 0 H4
[5,3,3]
Самодвойственный
Большой великий 120-ячейник[en] Schläfli-Hess polychoron-wireframe-2.png Ortho solid 011-uniform polychoron 53p-t0.png {5,5/2,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120
{5,5/2}
Great dodecahedron.png
720
{5}
Pentagon.svg
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
120
{5/2,3}
Great stellated dodecahedron.png
76 −480 H4
[5,3,3]
Большой икосаэдральный 120-ячейник
Большой икосаэдральный 120-ячейник[en]
(большой огранёный 600-ячейник)
Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png Ortho solid 014-uniform polychoron 3p5-t0.png {3,5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
120
{3,5/2}
Great icosahedron.png
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
720
{5}
Pentagon.svg
120
{5/2,5}
Small stellated dodecahedron.png
76 480 H4
[5,3,3]
Великий большой 120-ячейник
Великий 600-ячейник[en] Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png Ortho solid 015-uniform polychoron 33p-t0.png {3,3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
600
{3,3}
Tetrahedron.png
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
720
{5/2}
Pentagram.svg
120
{3,5/2}
Great icosahedron.png
191 0 H4
[5,3,3]
Великий большой звёздчатый 120-ячейник
Большой великий 120-ячейник[en] Schläfli-Hess polychoron-wireframe-1.png Ortho solid 016-uniform polychoron p33-t0.png {5/2,3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,3}
Great stellated dodecahedron.png
720
{5/2}
Pentagram.svg
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
600
{3,3}
Tetrahedron.png
191 0 H4
[5,3,3]
Великий 600-ячейник

Существует 4 несостоявшихся правильных звёздчатых перестановок многогранников: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Их ячейки и вершинные фигуры существует, но они не покрывают гиперсферу конечным числом представлений.

Размерность пять и выше[править | править код]

В пятимерном пространстве[en] правильные многогранники можно обозначить как , где является типом 4-грани, является типом ячейки, является типом 2-грани, является фигурой грани, является рёберной фигурой, а является вершинной фигурой.

Вершинная фигура (5-мерного многогранника) является 4-мерным многогранником, образованным вершинами, соседними с данной вершиной.
Рёберная фигура[en] (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным гранями вокруг каждого ребра.
Фигура грани[en] (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным ячейками вокруг каждой грани.

Правильный 5-мерный многогранник существует, только если и являются правильными четырёхмерными многогранниками.

В зависимости от значения

получим тип пространства

: Сферическое 4-мерное замощение или 5-мерный многогранник
: Евклидово 4-мерное замощение
: Гиперболическое 4-мерное замощение

Из этих ограничений получаем 3 выпуклых многогранника, нуль невыпуклых многогранников, 3 4-мерных замощения и 5 гиперболических 4-мерных замощений. Не существует невыпуклых правильных многогранников в пятимерном пространстве и выше.

Выпуклые[править | править код]

В размерностях 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников [10].

Название Символ
Шлефли

{p1,...,pn−1}
Коксетер k-граней Тип
фасеты
Вершинная
фигура
Двойственный
n-симплекс {3n−1} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3n−2} {3n−2} Самодвойственен
n-куб {4,3n−2} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {4,3n−3} {3n−2} n-ортоплекс
n-ортоплекс {3n−2,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {3n−2} {3n−3,4} n-куб

Существуют также несобственные случаи, в которых некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p,q,r,...2} является несобственным правильным сферическим многогранником в случае, если {p,q,r...} является правильным сферическим многогранником, и {2,...p,q,r} является несобственным правильным сферическим многогранником, когда {...p,q,r} является правильным сферическим многогранником. Такие многогранники можно использовать как фасеты, дающие формы вида {p,q,...2...y,z}.

Пятимерные пространства[править | править код]

Название Символ
Шлефли

{p,q,r,s}
Коксетер
Число фасет
(четырёхмерных
граней)
{p,q,r}
Ячеек
(трёхмерных
граней)
{p,q}
Граней
(двумерных)
{p}
Рёбер Вершин Фигура
при грани
{s}
Рёберная
фигура
{r,s}
Вершинная
фигура

{q,r,s}
Гексатерон {3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6
{3,3,3}
15
{3,3}
20
{3}
15 6 {3} {3,3} {3,3,3}
Пентеракт {4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10
{4,3,3}
40
{4,3}
80
{4}
80 32 {3} {3,3} {3,3,3}
5-ортоплекс {3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
32
{3,3,3}
80
{3,3}
80
{3}
40 10 {4} {3,4} {3,3,4}
5-simplex t0.svg
Гексатерон
5-cube graph.svg
Пентеракт
5-orthoplex.svg
5-ортоплекс

Шестимерное пространство[править | править код]

Название Шлефли Вершин Рёбер Граней (2D) Ячеек (3D) 4D-граней 5D-граней χ
6-симплекс[en] {3,3,3,3,3} 7 21 35 35 21 7 0
Хексеракт {4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 0
6-ортоплекс[en] {3,3,3,3,4} 12 60 160 240 192 64 0
6-simplex t0.svg
6-мерный симплекс[en]
6-cube graph.svg
Хексеракт
6-orthoplex.svg
6-мерный ортоплекс[en]

Семимерное пространство[править | править код]

Название Шлефли Вершин Рёбер Граней (2D) Ячеек (3D) 4D-граней 5D-граней 6D-граней χ
7-симплекс[en] {3,3,3,3,3,3} 8 28 56 70 56 28 8 2
Хептеракт {4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 2
7-ортоплекс[en] {3,3,3,3,3,4} 14 84 280 560 672 448 128 2
7-simplex t0.svg
7-симплекс[en]
7-cube graph.svg
Хептеракт
7-orthoplex.svg
7-ортоплекс[en]

Восьмимерное пространство[править | править код]

Название Шлефли Вершин Рёбер Граней (2D) Ячеек (3D) 4D-граней 5D-граней 6D-граней 7D-граней χ
8-симплекс[en] {3,3,3,3,3,3,3} 9 36 84 126 126 84 36 9 0
Октеракт {4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 0
8-ортоплекс[en] {3,3,3,3,3,3,4} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0
8-simplex t0.svg
8-симплекс[en]
8-cube.svg
Октеракт
8-orthoplex.svg
8-ортоплекс[en]

Девятимерное пространство[править | править код]

Название Шлефли Вершин Рёбер Граней (2D) Ячеек (3D) 4D-граней 5D-граней 6D-граней 7D-граней 8D-граней χ
9-симплекс[en] {38} 10 45 120 210 252 210 120 45 10 2
Энтенеракт {4,37} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 2
9-ортоплекс[en] {37,4} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 2
9-simplex t0.svg
9-симплекс[en]
9-cube.svg
Энтенеракт
9-orthoplex.svg
9-ортоплекс[en]

Десятимерное пространство[править | править код]

Название Шлефли Вершин Рёбер Граней (2D) Ячеек (3D) 4D-граней 5D-граней 6D-граней 7D-граней 8D-граней 9D-граней χ
10-симплекс[en] {39} 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 0
Декеракт {4,38} 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 0
10-ортоплекс[en] {38,4} 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 0
10-simplex t0.svg
10-симплекс[en]
10-cube.svg
Декеракт
10-orthoplex.svg
10-ортоплекс[en]

...

Невыпуклые[править | править код]

Не существует невыпуклых правильных многогранников в размерностях 5 и выше.

Правильные проективные многогранники[править | править код]

Проективный правильный (n+1)-многогранник существует, если исходное правильное n-сферическое замощение {p,q,...} центрально симметрично. Такие многогранники называются полу-{p,q,...}, и содержат вполовину меньше элементов. Коксетер даёт им символ {p,q,...}/2, в то время как Макмуллен пишет {p,q,...}h/2, где hчисло Кокстера. [11]

Правильные многоугольники с чётным числон сторон имеют полу-2n-угольные проективные многоугольники, {2p}/2.

Существует 4 правильных проективных многогранника[en], соответствующих 4 из 5 платоновых тел.

Полукуб и полуоктаэдр обобщаются в полу-n-кубы и полу-n-ортоплексы в любой размерности.

Правильные проективные многогранники в трёхмерном пространстве[править | править код]

3-dimensional regular hemi-polytopes
Название Коксетер
McMullen
Image Faces Edges Vertices χ
Полукуб[en] {4,3}/2
{4,3}3
Hemicube2.PNG 3 6 4 1
Полуоктаэдр[en] {3,4}/2
{3,4}3
Hemi-octahedron2.png 4 6 3 1
Полудодекаэдр {5,3}/2
{5,3}5
Hemi-dodecahedron.png 6 15 10 1
Полуикосаэдр {3,5}/2
{3,5}5
Hemi-icosahedron2.png 10 15 6 1

Правильные проективные многогранники в четырёхмерном пространстве[править | править код]

В 4-мерном пространстве 5 из 6 выпуклых правильных многогранников образуют проективные 4-мерные многогранники. 3 специальных случая — это полудвадцатичетырёхъячейник, полушестисотъячейник и полустодвадцатиячейник.

4-мерные правильные полумногогранники!Название Символ
Коксетера
Символ
Макмаллена
Ячеек Граней Рёбер Вершин χ
полутессеракт {4,3,3}/2 {4,3,3}4 4 12 16 8 0
полушестнадцатиячейник {3,3,4}/2 {3,3,4}4 8 16 12 4 0
полудвадцатичетырёхъячейник {3,4,3}/2 {3,4,3}6 12 48 48 12 0
полустодвадцатиячейник {5,3,3}/2 {5,3,3}15 60 360 600 300 0
полушестисотъячейник {3,3,5}/2 {3,3,5}15 300 600 360 60 0

Правильные проективные многогранники в пятимерном пространстве[править | править код]

Существует только 2 выпуклых правильных проективных полумногогранника в пространствах размерности 5 и выше.

Название Шлефли 4D-граней Ячеек (3D) Граней (2D) Рёбер Вершин χ
полупентеракт {4,3,3,3}/2 5 20 40 40 16 1
полупентакросс[en] {3,3,3,4}/2 16 40 40 20 5 1

Бесконечногранники[править | править код]

Бесконечногранник[en] — это многогранник, имеющий бесконечное число фасет. n-бесконечногранник — это n-мерный бесконечногранник: 2-бесконечногранник = бесконечноугольник (апейрогон), 3-бесконечногранник = бесконечногранник в трёхмерном пространстве и т.д.

Существует два главных геометрических класса бесконечногранников:[12]

  • Правильные соты в n-мерном пространстве, полностью заполняющие n-мерное пространство.
  • Правильные косые бесконечногранники[en], содержащие n-мерные многообразия в более высоких пространствах.

Одномерное пространство (бесконечноугольники)[править | править код]

Прямой апейрогон — это правильное замощение прямой с разделением её на бесконечно много равных отрезков. Он имеет бесконечно много вершин и рёбер. Его символ Шлефли равен {∞}, а диаграмма Коксетера — CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png.

...Regular apeirogon.png...

Апейрогоны на гиперболической плоскости, среди которых наиболее заметен правильный апейрогон {∞}, могут иметь кривизну, наподобие конечных многоугольников на евклидовой плоскости, и иметь вершины, лежащие на орициклах или гиперциклах.

Правильные апейрогоны со сходимостью на бесконечности имеют символ {∞} и существуют на орициклах, хотя в общем случае они могут существовать на гиперциклах.

{∞} {πi/λ}
Hyperbolic apeirogon example.png
Бесконечноугольник на орицикле
Pseudogon example.png
Бесконечноугольник на гиперцикле

Выше показаны два гиперболических апейрогона на диске Пуанкаре. На правом рисунке показаны перпендикулярные прямые, разделяющие фундаментальные области, отстоящие на расстояние λ друг от друга.

Пространственные бесконечноугольники[править | править код]

Косые апейрогоны в двумерном пространстве (плоскости) образуют зигзаг. Если зигзаг симметричен и однороден, апейрогон правильный.

Косые апейрогоны можно построить в пространстве любой размерности. В трёхмерном пространстве косые апейрогоны[en] образуют спираль и могут быть левыми или правыми.

Двумерное пространство Трёхмерное пространство
Regular apeirogon zig-zag.png
Апейрогон в виде зигзага
Triangular helix.png
Спиральный апейрогон

Двумерное пространство (бесконечногранники)[править | править код]

Евклидовы мозаики[править | править код]

Существует три правильных замощения плоскости. Все три имеют эйлерову характеристику (χ) 0.

Название Квадратная мозаика
(кадриль)
Треугольная мозаика
(дельтаплитка)
Шестиугольный паркет
(гексаплитка)
Симметрия p4m, [4,4], (*442) p6m, [6,3], (*632)
Шлефли {p,q} {4,4} {3,6} {6,3}
Диаграмма Коксетера CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Рисунок Uniform tiling 44-t0.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png

Существует две несобственные правильные мозаики — {∞,2}, бесконечноугольный диэдр, полученный из двух апейрогонов, каждый из которых заполняет полуплоскость, и двойственная ей {2,∞} мозаика, бесконечноугольный осоэдр, который можно представить как бесконечное число параллельных прямых.

Apeirogonal tiling.png
{∞,2}[en], CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Apeirogonal hosohedron.png
{2,∞}[en], CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png

Евклидовы звёздчатые мозаики[править | править код]

Не существует правильных замощений плоскости звёздчатыми многоугольниками. Существует бесконечно много пар чисел, для которых выполняется условие плоской мозаики (1/p + 1/q = 1/2), например, {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, и т.д., но ни одна из этих звёзд не подходит для замощения.

Гиперболические мозаики[править | править код]

Замощения гиперболического двухмерного пространства — это гиперболические мозаики[en]. Существует бесконечно много правильных мозаик в H2. Как констатировано выше, любая положительная пара {p,q}, такая что 1/p + 1/q < 1/2 даёт гиперболическую мозаику. Фактически для общего треугольника Шварца (pqr) то же самое верно для 1/p + 1/q + 1/r < 1.

Существует много различных путей представления гиперболической плоскости, включая дисковую модель Пуанкаре, в которой плоскость отображается в диск, как показано ниже. Следует рассматривать все многоугольные грани замощения как равносторонние, и многоугольники становятся меньше при приближению к краю диска вследствие применения проекции, что похоже на эффект фотокамеры c объективом «Рыбий глаз».

Существует бесконечно много плоских правильных 3-бесконечногранников как правильных мозаик гиперболической плоскости, имеющих вид {p,q}, где p+q<pq/2.

  • {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
  • {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
  • {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
  • {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
  • {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
  • {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
  • {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
  • ...
  • {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Примеры:

Гиперболические звёздчатые мозаики[править | править код]

Существует два бесконечных вида гиперболических мозаик, грани или вершинные фигуры которых являются звёздчатыми многоугольниками — {m/2, m} и их двойственные {m, m/2} с m = 7, 9, 11, .... Мозаики {m/2, m} являются звёздчатыми формами мозаик {m, 3}, в то время как двойственные мозаики {m, m/2} являются огранкой мозаик {3, m} и увеличениями[en] мозаик {m, 3}.

Схемы {m/2, m} и {m, m/2} продолжаются для нечётных m < 7 как многогранники: если m = 5, мы получим малый звёздчатый додекаэдр и большой додекаэдр, а при m = 3 мы получим тетраэдр. Другие два тела Кеплера — Пуансо (большой звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр) не имеют аналогов в правильных гиперболических мозаиках. Если m чётно, в зависимости от того, как мы выберем определение {m/2}, мы можем получить либо вырожденное покрытие другой мозаики или соединение мозаик.

Название Шлефли Диаграмма Коксетера Рисунок Тип грани
{p}
Вершинная фигура
{q}
Плот-
ность
[en]
Симметрия Двойственная
Семиугольная мозаика порядка 7[en] {7/2,7} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 7-2 7.png {7/2}
Star polygon 7-2.svg
{7}
Heptagon.svg
3 *732
[7,3]
Семиугольная гептаграммная мозаика
Семиугольная гептаграммная мозаика[en] {7,7/2} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 7 7-2.png {7}
Heptagon.svg
{7/2}
Star polygon 7-2.svg
3 *732
[7,3]
Гептаграммная мозаика порядка7
Эннеаграммная мозаика порядка 9 {9/2,9} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 9-2 9.png {9/2}
Star polygon 9-2.svg
{9}
Nonagon.svg
3 *932
[9,3]
Эннеаграммная девятиугольная мозаика
Эннеаграммная девятиугольная мозаика {9,9/2} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 9 9-2.png {9}
Nonagon.svg
{9/2}
Star polygon 9-2.svg
3 *932
[9,3]
Эннеаграммная девятиугольная мозаика порядка 9
Гендекаграммная мозаика порядка 11 {11/2,11} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png Order-11 hendecagrammic tiling.png {11/2}
Star polygon 11-2.svg
{11}
Hendecagon.svg
3 *11.3.2
[11,3]
Гендекаграммная мозаика одиннадцатиугольная мозаика
Гендекаграммная мозаика одиннадцатиугольная мозаика {11,11/2} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hendecagrammic-order hendecagonal tiling.png {11}
Hendecagon.svg
{11/2}
Star polygon 11-2.svg
3 *11.3.2
[11,3]
Гендекаграммная мозаика порядка 11
p- граммная мозаика порядка p {p/2,p} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png   {p/2} {p} 3 *p32
[p,3]
p- граммная p- угольная мозаика
p-граммная мозаика p-угольная мозаика {p,p/2} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png   {p} {p/2} 3 *p32
[p,3]
p-граммная мозаика порядка p

Косые бесконечногранники в евклидовом 3-мерном пространстве[править | править код]

Существует три правильных косых бесконечногранников[en] в евклидовом трёхмерном пространстве с правильным пространственным многоугольником в качестве вершинных фигур [13][14][15]. Они имеют то же самое расположение вершин[en] и расположение рёбер[en], что и у 3 выпуклых однородных сот[en].

  • 6 квадратов вокруг каждой вершины: {4,6|4}
  • 4 шестиугольника вокруг каждой вершины: {6,4|4}
  • 6 шестиугольников вокруг каждой вершины: {6,6|3}
12 "чистых" бесконечногранников в евклидовом 3-мерном пространстве на основе кубических сот[en]*, {4,3,4} [16]. Оператор Петри[en] π заменяет грани многоугольниками Петри. δ является двойственным оператором, обменивающим местами вершины и грани. φk является k-м оператором огранки. η является оператором взятия половины, а σ — взятием косой половины.
Правильный косой многоугольник
Mucube.png
{4,6|4}
Muoctahedron.png
{6,4|4}
Mutetrahedron.png
{6,6|3}

Существует тридцать правильных бесконечноугольников в евклидовом трёхмерном пространстве [17]. Они включают как перечисленные выше, так и 8 других "чистых" бесконечноугольников. Все они связаны с кубическими сотами {4,3,4}. Остальные имеют пространственные многоугольные грани: {6,6}4, {4,6}4, {6,4}6, {∞,3}a, {∞,3}b, {∞,4}.*3, {∞,4}6,4, {∞,6}4,4 и {∞,6}6,3.

Косые бесконечногранники в гиперболическом трёхмерном пространстве[править | править код]

Существует 31 правильный косой бесконечногранник[en] в гиперболическом трёхмерном пространстве [18]:

  • 14 компактных: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5}, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3} и {6,8|3}.
  • 17 паракомпактных: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6}, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3} и {8,8|4}.

Трёхмерное пространство (4-apeirotopes)[править | править код]

Замощения евклидова трёхмерного пространства[править | править код]

Рёберный каркас кубических сот {4,3,4}

Существует только одно невырожденное правильное замощение 3-мерного пространства (соты), {4, 3, 4} [19]:

Название Шлефли
{p,q,r}
Коксетер
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
Тип
ячейки
{p,q}
Тип
грани
{p}
Рёберная
фигура
{r}
Вершинная
фигура

{q,r}
χ Двойственный
Кубические соты[en]* {4,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3} {4} {4} {3,4} 0 Самодвойственны

Несобственные замощения евклидова трёхмерного пространства[править | править код]

Правильные соты {2,4,4}, в виде проекции на сферу.

Существует шесть несобственных правильных замощений, попарно основанных на трёх правильных евклидовых замощениях. Их ячейки и вершинные фигуры являются правильными осоэдрами {2,n}, диэдрами {n,2} и евклидовыми мозаиками. Эти несобственные правильные мозаики конструкционно связаны с призматическими однородными сотами операцией усечения. Они являются высокоразмерными аналогами бесконечноугольной мозаики порядка 2[en] и бесконечноугольного осоэдра[en].

Шлефли
{p,q,r}
Диаграмма
Коксетера
Тип
ячейки
{p,q}
Тип
грани
{p}
Рёберная
фигура
{r}
Вершинная
фигура

{q,r}
{2,4,4}[en] CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {2,4} {2} {4} {4,4}
{2,3,6}[en] CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {2,3} {2} {6} {3,6}
{2,6,3} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {2,6} {2} {3} {6,3}
{4,4,2} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png {4,4} {4} {2} {4,2}
{3,6,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png {3,6} {3} {2} {6,2}
{6,3,2} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png {6,3} {6} {2} {3,2}

Замощения гиперболического трёхмерного пространства[править | править код]

4 компактных правильных сот
H3 534 CC center.png
{5,3,4}
H3 535 CC center.png
{5,3,5}[en]
H3 435 CC center.png
{4,3,5}[en]
H3 353 CC center.png
{3,5,3}[en]
4 из 11 паракомпактных правильных сот
H3 344 CC center.png
{3,4,4}
H3 363 FC boundary.png
{3,6,3}[en]
H3 443 FC boundary.png
{4,4,3}ruen
H3 444 FC boundary.png
{4,4,4}ruen

Существует десять плоских правильных сот гиперболического 3-мерного пространства[20] (перечислены выше как замощения):

  • 4 компактных: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} и {5,3,5}
  • 6 паракомпактных: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Замощения гиперболического 3-мерного пространства[en] можно назвать гиперболическими сотами. Существует 15 гиперболических сот в H3, 4 компактных и 11 паракомпактных.

Название Символ
Шлефли

{p,q,r}
Коксетер
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
Тип
ячейки
{p,q}
Тип
грани
{p}
Рёберная
фигура
{r}
Вершинная
фигура

{q,r}
χ Двойственный
Икосаэдральные соты[en] {3,5,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3,5} {3} {3} {5,3} 0 Самодвойственны
Кубические соты порядка 5[en] {4,3,5} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png {4,3} {4} {5} {3,5} 0 {5,3,4}
Додекаэдральные соты порядка 4 {5,3,4} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {5,3} {5} {4} {3,4} 0 {4,3,5}
Додекаэдральные соты порядка 5[en] {5,3,5} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png {5,3} {5} {5} {3,5} 0 Самодвойственны

Существует также 11 паракомпактных H3 сот (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и/или вершинными фигурами): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Название Символ
Шлефли

{p,q,r}
Коксетер
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
Тип
ячейки
{p,q}
Тпи
грани
{p}
Рёберная
фигура
{r}
Вершинная
фигура

{q,r}
χ Двойственный
Тетраэдральные соты порядка 6[en] {3,3,6} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {3,3} {3} {6} {3,6} 0 {6,3,3}
Шестиугольные мозаичные соты[en] {6,3,3} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {6,3} {6} {3} {3,3} 0 {3,3,6}
Октаэдральные соты порядка 4 {3,4,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {3,4} {3} {4} {4,4} 0 {4,4,3}
Квадратные мозаичные соты[en] {4,4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {4,4} {4} {3} {4,3} 0 {3,3,4}
Треугольные мозаичные соты[en] {3,6,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3,6} {3} {3} {6,3} 0 Самодвойственны
Кубические соты порядка 6[en] {4,3,6} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {4,3} {4} {4} {3,4} 0 {6,3,4}
Шестиугольные мозаичные соты порядка 4[en] {6,3,4} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {6,3} {6} {4} {3,4} 0 {4,3,6}
Квадратные мозаичные соты порядка 4[en] {4,4,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,4} {4} {4} {4,4} 0 {4,4,4}
Додекаэдральные соты порядка 6[en] {5,3,6} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {5,3} {5} {5} {3,5} 0 {6,3,5}
Шестиугольные мозаичные соты порядка 5[en] {6,3,5} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png {6,3} {6} {5} {3,5} 0 {5,3,6}
Шестиугольные мозаичные соты порядка 6[en] {6,3,6} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {6,3} {6} {6} {3,6} 0 Самодвойственны

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдрон, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности), и некоторые нарисованы ниже, показывая их пересечение с плоскостью. Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными.

Сферические/Евклидовы/гиперболические(компактные/паракомпактные/некомпактные) соты {p,3,r}
p \ r 3 4 5 6 7 8 ... ∞
3
Uniform polyhedron-33-t0.png
Schlegel wireframe 5-cell.png
{3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Schlegel wireframe 16-cell.png
{3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
{3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H3 336 CC center.png
{3,3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H3 337 UHS plane at infinity.png
{3,3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
H3 338 UHS plane at infinity.png
{3,3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H3 33inf UHS plane at infinity.png
{3,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
4
Uniform polyhedron-43-t0.png
Schlegel wireframe 8-cell.png
{4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Cubic honeycomb.png
{4,3,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H3 435 CC center.png
{4,3,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H3 436 CC center.png
{4,3,6}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

{4,3,7}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png

{4,3,8}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png

{4,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
5
Uniform polyhedron-53-t0.png
Schlegel wireframe 120-cell.png
{5,3,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H3 534 CC center.png
{5,3,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H3 535 CC center.png
{5,3,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H3 536 CC center.png
{5,3,6}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

{5,3,7}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png

{5,3,8}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H3 53i UHS plane at infinity.png
{5,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
6
Uniform tiling 63-t0.png
H3 633 FC boundary.png
{6,3,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H3 634 FC boundary.png
{6,3,4}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H3 635 FC boundary.png
{6,3,5}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H3 636 FC boundary.png
{6,3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H3 637 UHS plane at infinity view 1.png
{6,3,7}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png

{6,3,8}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H3 63i UHS plane at infinity.png
{6,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
7
H2 tiling 237-1.png
Heptagonal tiling honeycomb.png
{7,3,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{7,3,4}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{7,3,5}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{7,3,6}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{7,3,7}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{7,3,8}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{7,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
8
H2 tiling 238-1.png
{8,3,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{8,3,4}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{8,3,5}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{8,3,6}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{8,3,7}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{8,3,8}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{8,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
...
H2 tiling 23i-1.png
{∞,3,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{∞,3,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{∞,3,5}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{∞,3,6}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{∞,3,7}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{∞,3,8}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{∞,3,∞}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
q = 4 q = 5 q = 6
p \ r 3 4 5
3
Uniform polyhedron-43-t2.png
Schlegel wireframe 24-cell.png
{3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H3 344 CC center.png
{3,4,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{3,4,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
4
Uniform tiling 44-t0.svg
H3 443 FC boundary.png
{4,4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H3 444 FC boundary.png
{4,4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{4,4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
5
H2 tiling 245-1.png

{5,4,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,4,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{5,4,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
p \ r 3 4
3
Uniform polyhedron-53-t2.png
H3 353 CC center.png
{3,5,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,5,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4
H2 tiling 245-4.png

{4,5,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,5,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5
H2 tiling 255-1.png

{5,5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,5,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
p \ r 3 4
3
Uniform tiling 63-t2.png
H3 363 FC boundary.png
{3,6,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,6,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4
H2 tiling 246-4.png

{4,6,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,6,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5
H2 tiling 256-4.png

{5,6,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,6,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

Не существует гиперболических звёздчатых сот в H3 — все формы с правильным звёздчатым многогранником в качестве ячейки, вершинной фигуры, или того и другого оказываются сферическими.

Четырёхмерное пространство (5-бесконечногранники)[править | править код]

Замощения евклидов 4-мерного пространства[править | править код]

Существует три вида бесконечных правильных (сот), которые могут заполнить евклидово четырёхмерное пространство:

Название Символ
Шлефли

{p,q,r,s}
Тип
фасеты
{p,q,r}
Тип
ячейки
{p,q}
Тип
грани
{p}
Фигура
грани
{s}
Рёберная
фигура
{r,s}
Вершинная
фигура

{q,r,s}
Двойственный
Тессерактные соты[en] {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} {3,3,4} Самодвойственены
Шестнадцатиячейные соты {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}
Двадцати-
четырёхъячейные соты
{3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}
Tesseractic tetracomb.png
Спроецированный фрагмент сот {4,3,3,4}
(Тессерактовые соты)
Demitesseractic tetra hc.png
Спроецированный фрагмент сот {3,3,4,3}
(Шестнадцатиячейные соты)
Icositetrachoronic tetracomb.png
Спроецированный фрагмент сот {3,4,3,3}
(24-ячейные соты)

Существует также два несобственных случая, {4,3,4,2} и {2,4,3,4}. Существует три плоских правильных вида сот евклидова 4-мерного пространства:[19]

  • {4,3,3,4}, {3,3,4,3} и {3,4,3,3}.

Существует семь плоских правильных выпуклых сот гиперболического 4-мерного пространства:[20]

  • 5 компактных: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
  • 2 паракомпактных: {3,4,3,4} и {4,3,4,3}.

Существует четыре плоских правильных звёздчатых видов сот в гиперболическом 4-мерном пространстве:[20]

  • {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} и {5,5/2,5,3}.

Замощения гиперболического 4-мерного пространства[править | править код]

Существует семь выпуклых правильных сот и четыре звёздчатые формы сот в пространстве H4 [21]. Пять выпуклых видов компактны, а два паракомпактны.

Пять компактных правильных сот в H4:

Название Символ
Шлефли

{p,q,r,s}
Тип
фасеты
{p,q,r}
Тип
ячейки
{p,q}
Тип
грани
{p}
Фигура
грани
{s}
Рёберная
фигура
{r,s}
Вершинная
фигура

{q,r,s}
Двойственный
Пятиячейные соты порядка 5[en] {3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}
120-ячейные соты {5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}
Тессерактные соты порядка 5[en] {4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {4} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}
120-ячейные соты порядка 4[en] {5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {4} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}
120-ячейные соты порядка 5[en] {5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} Самодвойственен

Два правильных паракомпактных правильных вида сот в H4: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Название Символ
Шлефли

{p,q,r,s}
Тип
фасеты
{p,q,r}
Тип
ячейки
{p,q}
Тип
грани
{p}
Фигура
грани
{s}
Рёберная
фигура
{r,s}
Вершинная
фигура

{q,r,s}
Двойственный
24-ячейные соты порядка 4[en] {3,4,3,4} {3,4,3} {3,4} {3} {4} {3,4} {4,3,4}[en]* {4,3,4,3}
Кубические сотовые соты[en] {4,3,4,3} {4,3,4}[en]* {4,3} {4} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,4}

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный пятиячейник, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности). Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными.

Сферические/Евклидовы/гиперболические(компактные/паракомпактные/некомпактные) соты {p,q,r,s}
q=3, s=3
p \ r 3 4 5
3 5-simplex t0.svg
{3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Demitesseractic tetra hc.png
{3,3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,3,5,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 5-cube t0.svg
{4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,3,5,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5
{5,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,3,5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
q=3, s=4
p \ r 3 4
3 5-cube t4.svg
{3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{3,3,4,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 Tesseractic tetracomb.png
{4,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{4,3,4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5
{5,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{5,3,4,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
q=3, s=5
p \ r 3 4
3
{3,3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{3,3,4,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
4
{4,3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{4,3,4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
5
{5,3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{5,3,4,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
q=4, s=3
p \ r 3 4
3 Icositetrachoronic tetracomb.png
{3,4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,4,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4
{4,4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
q=4, s=4
p \ r 3 4
3
{3,4,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{3,4,4,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4
{4,4,3,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{4,4,4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
q=4, s=5
p \ r 3 4
3
{3,4,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{3,4,4,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
4
{4,4,3,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{4,4,4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

Звёздчатые замощения гиперболического 4-мерного пространства[править | править код]

Существует четыре вида правильных звёздчатых сот в пространстве H4:

Название Символ
Шлефли

{p,q,r,s}
Тип
фасеты
{p,q,r}
Тип ячейки
type
{p,q}
Тип
грани
{p}
Фигура
грани
{s}
Рёберная
фигура
{r,s}
Вершинная
фигура

{q,r,s}
Двойственный Плот-
ность
Соты из малого звёздчатого 120-ячейника[en] {5/2,5,3,3} {5/2,5,3}[en] {5/2,5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2} 5
600-ячейник пентаграммного порядка[en] {3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5,5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3} 5
Икосаэдральные 120-ячейные соты порядка 5[en] {3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2,5} {5,5/2,5} {5,5/2,5,3} 10
Соты большого 120-ячейника[en] {5,5/2,5,3} {5,5/2,5} {5,5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5} 10

Пятимерное пространство (бесконечноугольные 6-многогранники)[править | править код]

Существуют только одни плоские правильные соты в евклидовом 5-мерном пространстве: ( перечислены выше как замощения) [19]

  • {4,3,3,3,4}

Существует пять плоских правильных сот гиперболического 5-мерного пространства, все паракомпактные: (перечислены выше как замощения)[20]

  • {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}

Замощение s евклидова 5-мерного пространства[править | править код]

Гиперкубические соты является единственным семейством правильных сот, которые могут замостить пространство любой размерности (пять и выше), образованные фасетами-гиперкубами, по четыре вокруг каждой (n-2)-мерной грани.

Название Шлефли
{p1, p2, ..., pn−1}
Тип
фасеты
Вершинная
фигура
Двойственный
Квадратный паркет {4,4} {4} {4} Самодвой-
ственен
Кубические соты[en]* {4,3,4} {4,3} {3,4} Самодвой-
ственны
Тессерактные соты[en] {4,32,4} {4,32} {32,4} Самодвой-
ственны
5-кубические соты[en] {4,33,4} {4,33} {33,4} Самодвой-
ственны
6-кубические соты[en] {4,34,4} {4,34} {34,4} Самодвой-
ственны
7-кубические соты[en] {4,35,4} {4,35} {35,4} Самодвой-
ственны
8-кубические соты[en] {4,36,4} {4,36} {36,4} Самодвой-
ственны
n-мерные гиперкубические соты {4,3n−2,4} {4,3n−2} {3n−2,4} Самодвой-
ственны

В E5 существуют также несобственные случаи {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2} и {2,3,4,3,3}. В En, {4,3n−3,4,2} и {2,4,3n−3,4} являются всегда несобственными евклидовыми замощениями.

Замощения гиперболического 5-мерного пространства[править | править код]

Существует 5 правильных видов сот в H5, все паракомпактные. Они включают бесконечные (евклидовы) фасеты или вершинные фигуры: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}.

Существует два некомпактных правильных замощения гиперболического пространстваразмерности 5 и выше и нет паракомпактных правильных замощений в гиперболическом пространстве размерности 6 и выше.

Название Символ
Шлефли

{p,q,r,s,t}
Тип
фасеты
{p,q,r,s}
4-face
type
{p,q,r}
Cell
type
{p,q}
Face
type
{p}
Cell
figure
{t}
Face
figure
{s,t}
Edge
figure
{r,s,t}
Вершинная
фигура

{q,r,s,t}
Двойственный
5-ортоплексные соты[en] {3,3,3,4,3} {3,3,3,4} {3,3,3} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,3}
Двадцати-
четырёхячейные сотовые соты
{3,4,3,3,3} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {3,3,3} {4,3,3,3} {3,3,3,4,3}
Шестнадцатиячейные сотовые соты {3,3,4,3,3} {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,4,3,3} Самодвой-
ственны
24-ячейные соты порядка 4[en] {3,4,3,3,4} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {4} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,4}[en] {4,3,3,4,3}
Тессерактные сотовые соты[en] {4,3,3,4,3} {4,3,3,4}[en] {4,3,3} {4,3} {4} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,4}

Поскольку не существует правильных звёздчатых n-многогранников для n ≥ 5, которые могли бы быть потенциальными ячейками или вершинными фигурами, не существует больше гиперболических звёздчатых сот в Hn для n ≥ 5.

Размерность 6 и выше (7-мерные бесконечногранники+)[править | править код]

Замощения гиперболического 6-мерного и выше пространства[править | править код]

Не существует правильных компактных или паракомпактных замощений гиперболического пространства размерности 6 или выше. Все целые неперчисленные значения дают некомпактное замощение гиперболического n-мерного пространства.

Соединения многогранников[править | править код]

Двухмерные соединения[править | править код]

Для любого натурального числа n существует n-вершинный звёздчатый правильный многоугольник с символом Шлефли {n/m} для любого m < n/2 (строго говоря, {n/m}={n/(n−m)}), где m и n взаимно просты. Если m и n не взаимно просты, полученный многоугольник будет иметь n/m сторон. Новая фигура получается вращением этих n/m-угольников на одну вершину (влево), пока число вращений не достигнет числа n/m минус единица, и комбинацией этих повёрнутых фигур. В экстремальном случае, когда n/m равно 2, получим фигуру из n/2 отрезков. Такая фигура называется вырожденным звёздчатым многоугольником.

В других случаях, когда n и m имеют общий делитель, получим звёздчатый многоугольник с меньшим n и с ним можно скомбинировать версии, полученные вращением. Эти фигуры называются звёздчатыми фигурами, несобственными звёздчатыми многоугольниками или соединениями многоугольников. Для них часто используется то же обозначение {n/m}, хотя некоторые авторы, такие как Грюнбаум (1994), предпочитают (с некоторыми уточнениями) форму k{n} как более правильную, где, обычно, k = m.

Следующее усложнение возникает, когда мы соединяем два или более звёздчатых многоугольника, как, например, две пентаграммы, отличающиеся поворотом на 36° и вписанные в десятиугольник. Правильнее в этом случае писать в виде k{n/m}, в нашем случае 2{5/2}, а не использовать обычно используемое {10/4}.

Расширенная нотация Коксетера для соединения многоугольников имеет вид c{m,n,...}[d{p,q,...}]e{s,t,...}, в которой отражается, что d различных {p,q,...} вместе покрывают вершины {m,n,...} c раз и грани {s,t,...} e раз. Если не существует правильного {m,n,...}, первая часть записи удаляется, оставляя [d{p,q,...}]e{s,t,...}. Противоположный случай — если не существует правильного {s,t,...}. Двойственным к of c{m,n,...}[d{p,q,...}]e{s,t,...} является e{t,s,...}[d{q,p,...}]c{n,m,...}. Если c или e равно 1, их можно опускать. Для соединения многоугольников эта нотация сводится к {nk}[k{n/m}]{nk}. Например, гексаграмму можно записать как {6}[2{3}]{6}.

Примеры для n=2..10, nk≤30
Regular star figure 2(2,1).svg
2{2}
Regular star figure 3(2,1).svg
3{2}
Regular star figure 4(2,1).svg
4{2}
Regular star figure 5(2,1).svg
5{2}
Regular star figure 6(2,1).svg
6{2}
Regular star figure 7(2,1).svg
7{2}
Regular star figure 8(2,1).svg
8{2}
Regular star figure 9(2,1).svg
9{2}
Regular star figure 10(2,1).svg
10{2}
Regular star figure 11(2,1).svg
11{2}
Regular star figure 12(2,1).svg
12{2}
Regular star figure 13(2,1).svg
13{2}
Regular star figure 14(2,1).svg
14{2}
Regular star figure 15(2,1).svg
15{2}
Regular star figure 2(3,1).svg
2{3}
Regular star figure 3(3,1).svg
3{3}
Regular star figure 4(3,1).svg
4{3}[en]