Спорадическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

Простая группа — это группа G, не содержащая каких-либо нормальных подгрупп, отличных от самой группы G и тривиальной (единичной) подгруппы. Теорема классификации утверждает, что список конечных простых групп[en] состоит из 18 счётных бесконечных семейств, плюс 26 исключений, которые не попадают в эту классификацию. Эти исключения называются спорадическими группами. Они также известны под названиями «спорадические простые группы» или «спорадические конечные группы». Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, иногда она также считается спорадической[1] и в этом случае является 27-ой спорадической группой.

Группа Монстр является наибольшей среди спорадических групп и содержит в качестве подгрупп или подфактор-групп[en] все, за исключением шести, другие спорадические группы.

Имена спорадических групп[править | править код]

Пять спорадических групп обнаружил Матьё в 1860-х годах, остальные 21 найдены между 1965 и 1975 годами. Существование нескольких из этих групп было предсказано до их построения. Большинство групп носят имена математиков, первыми предсказавшими их существование. Полный список групп:

Диаграмма показывает подфакторные связи спорадических групп.

Группа Титса T иногда также считается спорадической группой (она почти лиева типа) и по этой причине по некоторым источникам число спорадических групп даётся как 27, а не 26. По другим источникам группа Титса не считается ни спорадической, ни группой лиева типа.

Для всех спорадических групп были построены матричные представления над конечными полями.

Наиболее раннее употребление термина «спорадическая группа» найдено у Бёрнсайда[2], где он говорит о группах Матьё: «Эти, по всей видимости, спорадические простые группы требуют более тщательного исследования, чем до сих пор получали».

Диаграмма справа основывается на диаграмме Ронана[3]. Спорадические группы также имеют большое число подгрупп, не являющихся спорадическими, но на диаграмме они не представлены ввиду их огромного числа.

Система[править | править код]

Из 26 спорадических групп 20 находятся внутри группы «Монстр» в качестве подгрупп или подфактор-групп[en].

I. Парии[править | править код]

Шесть исключений J1, J3, J4, O’N, Ru и Ly иногда называют париями[en].

II. Счастливое Семейство[править | править код]

Остальные двадцать групп называют Счастливым семейством (название дал Роберт Грис[en]) и их можно разбить на три поколения.

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё[править | править код]

Группы Mn для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно-транзитивными группами перестановок n точек. Все они являются подгруппами группы M24, которая является группой перестановок 24 точек.

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича[править | править код]

Все подфакторы[en] группы автоморфизмов решётки в 24-мерном пространстве, называемой решёткой Лича:

  • Co1 — фактор-группа группы автоморфизмов по центру {±1}
  • Co2 — стабилизатор вектора типа 2 (то есть длины 2)
  • Co3 — стабилизатор вектора типа 3 (то есть длины √6)
  • Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих структуру (модуль центра)
  • McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3
  • HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3
  • J2 — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (модуль по центру).

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра[править | править код]

Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с Монстром M:

  • B или F2 имеет двойное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M
  • Fi24′ имеет тройное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3A»)
  • Fi23 является подгруппой Fi24
  • Fi22 имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi23
  • Произведение Th = F3 и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3C»)
  • Произведение HN = F5 и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
  • Произведение He = F7 и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M.
  • Наконец, Монстр сам по себе считается принадлежащим этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше — произведение M12 и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M.)

Группа Титса также принадлежит этому поколению — существует подгруппа , нормализующая 2C2 подгруппу B, порождающая подгруппу , нормализующую некоторую подгруппу Q8 Монстра. является также подгруппой групп Фишера Fi22, Fi23 и Fi24′ и «малого Монстра» B. является подгруппой группы-парии Рюдвалиса Ru и не имеет других зависимостей со спорадическими простыми группами кроме перечисленных выше.

Таблица порядков спорадических групп[править | править код]

Группа Поколение Порядок последовательность A001228 в OEIS Значащих
цифр
Разложение Тройка
Стандартных генераторов (a, b, ab)[4][5][6]
Другие условия
F1 или M третье 8080174247945128758864599049617107
57005754368000000000
≈ 8·1053 246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71 2A, 3B, 29
F2 или B[en] третье 4154781481226426191177580544000000 ≈ 4·1033 2C, 3A, 55
Fi24' или F3+[en] третье 1255205709190661721292800 ≈ 1·1024 221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29 2A, 3E, 29
Fi23[en] третье 4089470473293004800 ≈ 4·1018 218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23 2B, 3D, 28
Fi22[en] третье 64561751654400 ≈ 6·1013 217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 13 2A, 13, 11
F3 или Th[en] третье 90745943887872000 ≈ 9·1016 215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 31 2, 3A, 19
Ly[en] пария 51765179004000000 ≈ 5·1016 28 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67 2, 5A, 14
F5 или HN[en] третье 273030912000000 ≈ 3·1014 214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 19 2A, 3B, 22
Co1[en] второе 4157776806543360000 ≈ 4·1018 221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23 2B, 3C, 40
Co2[en] пария 42305421312000 ≈ 4·1013 218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 23 2A, 5A, 28
Co3[en] пария 495766656000 ≈ 5·1011 210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 23 2A, 7C, 17
O'N[en] пария 460815505920 ≈ 5·1011 29 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 31 2A, 4A, 11
Suz[en] пария 448345497600 ≈ 4·1011 213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 13 2B, 3B, 13
Ru[en] пария 145926144000 ≈ 1·1011 214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 29 2B, 4A, 13
F7 или He[en] третье 4030387200 ≈ 4·109 210 • 33 • 52 • 73 • 17 2A, 7C, 17
McL[en] пария 898128000 ≈ 9·108 27 • 36 • 53 • 7 • 11 2A, 5A, 11
HS[en] пария 44352000 ≈ 4·107 29 • 32 • 53 • 7 • 11 2A, 5A, 11
J4[en] пария 86775571046077562880 ≈ 9·1019 221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43 2A, 4A, 37
J3 или HJM[en] пария 50232960 ≈ 5·107 27 • 35 • 5 • 17 • 19 2A, 3A, 19
J2 или HJ пария 604800 ≈ 6·105 27 • 33 • 52 • 7 2B, 3B, 7
J1[en] пария 175560 ≈ 2·105 23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19 2, 3, 7
M24[en] первое 244823040 ≈ 2·108 210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 23 2B, 3A, 23
M23[en] первое 10200960 ≈ 1·107 27 • 32 • 5 • 7 • 11 • 23 2, 4, 23
M22[en] первое 443520 ≈ 4·105 27 • 32 • 5 • 7 • 11 2A, 4A, 11
M12[en] первое 95040 ≈ 1·105 26 • 33 • 5 • 11 2B, 3B, 11
M11[en] первое 7920 ≈ 8·103 24 • 32 • 5 • 11 2, 4, 11

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]