Сравнение топологий

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть и  — две топологии на множестве такие что содержится в

Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем Соответственно, топология называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.[1]

Бинарное отношение задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества

Примеры[править | править вики-текст]

Наиболее тонкая топология на  — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.

Наииболее грубая топология на относительно которой удовлетворяет аксиоме отделимости T1, называется T1-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть и  — две топологии на множестве Тогда следующие утверждения эквивалентны:

Также из определений немедленно следуют данные утверждения:

  • Непрерывное отображение останется непрывным, если топологию на заменить на более грубую (соответственно, топологию на  — на более тонкую).
  • Открытое отображение останется открытым, если топологию на заменить на более тонкую (соответственно, топологию на  — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.

Решётка топологий[править | править вики-текст]

Множество топологий на образует полную решётку относительно отношения Это значит, что произвольное семейство тоопологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.

Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77-78. ISBN 0-13-181629-2.