Стандартные ошибки в форме Уайта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стандартные ошибки в форме Уайта или состоятельные при гетероскедастичности стандартные ошибки (HC s.e. — Heteroskedasticity consistent standard errors) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы (в частности и стандартных ошибок) МНК-оценок параметров линейной модели регрессии, которая состоятельна при гетероскедастичности случайных ошибок модели, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая в данном случае является несостоятельной.

Сущность и формула[править | править вики-текст]

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

V(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(X^TVX)(X^TX)^{-1}

где V — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда V=\sigma^2 I) формула упрощается

\hat {V}(\hat {b}_{OLS})={\sigma}^2(X^TX)^{-1}

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: s^2=ESS/(n-k), которая, как можно доказать, является несмещённой и состоятельной оценкой.

В общем случае, однако, необходима некоторая оценка неизвестной ковариационной матрицы. В частности, если предполагается наличие гетероскедастичности при отсутствии автокорреляции, ковариционная матрица случайных ошибок является диагональной и все диагональные элементы \sigma^2_t неизвестны. В этом случае, общее выражение для ковариационной матрицы оценок можно записать в виде:

V(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(\sum_{t=1}^{n}\sigma^2_{t}x_tx^T_t)(X^TX)^{-1}

Уайт (White, 1980) показал, что если использовать в этой формуле вместо неизвестных дисперсий ошибок квадраты остатков регрессии, то получается состоятельная оценка:

\hat {V}(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(\sum_{t=1}^{n}e^2_{t}x_tx^T_t)(X^TX)^{-1}

Необходимо отметить, что данная оценка является состоятельной только при отсутствии автокорреляции случайных ошибок (то есть как и было описано — в случае диагональной ковариационной матрицы случайных ошибок). В случае, если имеется ещё и автокорреляция, то можно использовать стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста.

Замечание[править | править вики-текст]

Иногда приведённую формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель n/(n-k). Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
  • William H. Greene. Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.