Степень многочлена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a(x − x1)…(x − xn), где x1, …, xn — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа a ≠ 0 — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a(x − x1)…(x − xn), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю.

Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно.

Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду p(x1,…,xd) = 0, где полином p(x1, …, xd) имеет степень n, называется (многочленным) уравнением степени n.

Степень полинома обозначается deg (англ. degree, фр. degré, от лат. gradus + de-).[1]

Названия определённых степеней[править | править код]

В d-мерном евклидовом пространстве (d − 1)-мерная поверхность, являющаяся решением уравнения p(x1,…,xd) = 0 степени n с декартовыми координатами x1, …, xd, называется (d − 1)-мерной поверхностью n-го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения. Отдельные названия гиперповерхностей:

Примеры[править | править код]

  1. Многочлен x(x − 2) имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей.
  2. У многочлена (2x − 1)(3x − 2) коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: 2 × 3(x12)(x23), — так что он имеет степень 2.
  3. У многочлена 16x5 + (−20)x3 + 5x + (−1) одночлен с наибольшей степенью — это 16x5, а значит, степень многочлена равна 5.
  4. Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином (x2 + 1)2 − (−x2 + 1)2 имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 2x2.
  5. Многочлен 2(2x − y)xy является третьей степени.
  6. Многочлен x2 + y имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x2, причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y.
  7. Степень многочлена xy + y + x равна 2.

Степень многочлена при операциях над ними[править | править код]

Умножение[править | править код]

При умножении ненулевого многочлена p(x) на ненулевую константу c степень не изменяется:

Например, степень полинома 6(x12)(x23) = 6x2 − 5x + 2, как и (x12)(x23) = x2 + −56x + 13, равна 2. В более общем случае степень произведения полиномов p(x) и q(x) равна сумме степеней этих полиномов:[3][4]

К примеру, степень многочлена (x2 + 1)(x3 − x − 1) = x5 − x2 − x − 1 равна 2 + 3 = 5.

Сложение, вычитание[править | править код]

Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:[5][6]

То же самое неравенство верно и для разности:

При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен (x2 + 1)2 имеет четвёртую степень, (x + 1)2 — вторую, а многочлены (x2 + 1)2 ± (x + 1)2 — 4-ю.

Композиция[править | править код]

Пусть p(x) и q(x) — ненулевые многочлены. Тогда:[7]

Например, если p(x) = x2 + 1, q(x) = x3 + 1, то степени многочленов p ∘ q(x) = x6 + 2x3 + 2 и q ∘ p(x) = x6 + 3x4 + 3x2 + 2 равны 2 × 3 = 6.

Степень многочлена нескольких переменных[править | править код]

Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x1y2x3 относительно x и y равна 1 + 2 + 3 = 6.

В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен xy + y + x имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy.

Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином x2 + y2 + xy + x + y имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y. Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так:

а относительно y:

Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином (x2 + 1)y2 + (x + 1)y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y, только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен (x2 + 1)y2 обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y).

Степень нулевого многочлена[править | править код]

Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой[8], либо отрицательной — как правило, −1[9] или −∞.[2][10]

В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие вышенаписанные свойства степеней при преобразовании многочленов.

При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной −∞, сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства (свойства аффинно расширенной числовой прямой):

  • [10]

Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p(x) — ненулевой многочлен степени n, то

  • а с другой стороны,

Примечания[править | править код]

  1. Eric W. Weisstein. Polynomial Degree (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 3 июня 2021 года.
  2. 1 2 Eric W. Weisstein. Zero Polynomial (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 1 мая 2021 года.
  3. Serge Lang. Algebra. — 3. — New York: Springer-Verlag, 2002. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4.
  4. Серж Ленг. Алгебра. — Springer, 2005. — С. 100. — ISBN 978-0-387-95385-4.
  5. abstract algebra - The degree of a sum of two polynomials (proof question). Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021.
  6. Degree of sum of polynomials - TheoremDep. sharmaeklavya2.github.io. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 20 января 2021 года.
  7. algebra precalculus - What's polynomial composition useful for? Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021.
  8. Шафаревич, Игорь Ростиславович. Лекции по алгебре. — С. 25. Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine
  9. Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру. — 1995. — С. 233. Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine
  10. 1 2 Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру.. — 2009. Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine

Ссылки[править | править код]