Степень простого числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике степень простого числа — это положительная целая степень простого числа.

Примеры[править | править вики-текст]

Например: 5 = 51, 9 = 3² и 16 = 24 являются степенью простого числа, в то время как 6 = 2×3, 15 = 3×5 и 36 = 6² = 2²×3² не являются.

Двадцать наименьших степеней:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, … (последовательность A000961 в OEIS)

Свойства[править | править вики-текст]

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

  • Каждая степень простого числа делится только на одно простое число.
  • Конечное поле порядка n существует тогда и только тогда, когда n — степень простого числа.
  • Плотность распределения степеней простых чисел асимптотически эквивалентна \pi (x)~ — плотности простых чисел с точностью до O(\sqrt{x})~.
  • Любая степень простого числа (за исключением степени 2) имеет первообразный корень. Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pn (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pnZ) является циклической.
  • Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и обратно, любая степень простого является числом элементов некоторого конечного поля (единственного с точностью до изоморфизма).

Комбинаторные свойства[править | править вики-текст]

Свойство степеней простого числа, часто используемое в аналитической теории чисел, — что множество степеней простых чисел, не являющихся простыми, является маленьким[en] в том смысле, что бесконечная сумма обратных им величин сходится, хотя множество простых чисел является большим множеством.

Свойства делимости[править | править вики-текст]

Функция Эйлера (φ) и сигма функции (σ0) и (σ1) от степени простого числа можно вычислить по формулам:

\phi(p^n) = p^{n-1} \phi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \left(1 - \frac{1}{p}\right),
\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0*j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,
\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1*j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{n+1} - 1}{p - 1}.

Все степени простых чисел являются недостаточными числами. Степень простого pn является n-почти простыми[en]. Неизвестно, могут ли степени простых чисел pn быть дружественными числами. Если такие числа существуют, то pn должно быть больше 101500 и n должен быть больше 1400.

Смотрите также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Elementary Number Theory. — London: Limited, 1998.