Степень роста группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Степень роста группы — характеристика в теории групп, показывающая скорость прироста конечнопорождённых групп в виде класса функций, ставящих в соответствие количеству порождающих элементов порядок группы. Введена советским математиком Шварцем (1955) в рамках исследования вопроса о росте универсальных накрывающих римановых пространств и независимо от него американским математиком Милнором (1968) в связи с проблемами фундаментальных групп компактных римановых многообра­зий с ограничениями на кривизну[1].

Определение[править | править исходный текст]

Функция роста конечнопорождённой элементами A=\{a_1, \dots, a_m\} группы G — функция \gamma : \mathbb N \to \mathbb N, сопоставляющая каждому натуральному числу n количество различных элементов группы, представимых в виде несократимого произведения не более n различных образующих a_i. На множестве функций роста группы вводится отношение предпорядка: \gamma_1 \preccurlyeq \gamma_2 тогда и только тогда, когда \exists (C \in \mathbb N) \forall(n\in \mathbb N) \gamma_1(n) \le \gamma_2(Cn) и отношение эквивалентности: \gamma_1 \sim \gamma_2 \Leftrightarrow \gamma_1 \preccurlyeq \gamma_2 \and \gamma_2 \preccurlyeq \gamma_1. Класс эквивалентности функций роста [\gamma] не зависит от выбора образующих и называется степенью роста группы.

Свойства[править | править исходный текст]

Наименьшая степень роста у единичной группы, степень роста свободной группы с двумя образующими (и, более того, любой группы, содержащей свободную подгруппу с двумя образующими) — [2^n].

Если элементарная группа почти нильпотентна (то есть, в ней найдётся нильпотентная подгруппа конечного индекса), то её степень роста выражается степенными функциями, в ином случае — показательными. Теорема Громова о группах полиномиального роста утверждает, что все группы, степень роста которых выражается степенной функцией, почти нильпотенты. Построены группы, функции роста которых не эквивалентны ни степенным, ни показательным функциям (Григорчук, 1984).

Степень роста играет существенную роль для свойств аменабельных групп[en].

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]