Стохастическое исчисление Ито

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Исчисление Ито — математическая теория, описывающая методы манипулирования со случайными процессами, такими как броуновское движение (или винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито

записывающийся также в виде , где  — броуновское движение или, в более общей формулировке, полумартингал. Можно показать, что путь интегрирования для броуновского движения нельзя описать стандартными техниками интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является интегрируемой функцией в каждой точке пути и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить строго, если заметить, что подынтегральная функция есть адаптивный процесс; это означает, что зависимость от времени его среднего значения определяется поведением только до момента .

Обозначения[править | править вики-текст]

Интегрирование броуновского движения[править | править вики-текст]

Процесс Ито[править | править вики-текст]

Семимартингалы, как интеграторы[править | править вики-текст]

где , - последовательность разбиений интервала [0, t] с длинной подынтервалов стремящейся к нулю.

Свойства[править | править вики-текст]


Интегрирование по частям[править | править вики-текст]

Лемма Ито[править | править вики-текст]

Мартингалы-интеграторы[править | править вики-текст]

Локальные мартингалы[править | править вики-текст]

Квадратично интегрируемые мартингалы[править | править вики-текст]

p-интегральные мартингалы[править | править вики-текст]

Стохастическая производная[править | править вики-текст]

  and  

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Allouba, Hassan (2006). «A Differentiation Theory for Itô's Calculus». Stochastic Analysis and Applications 24: 367-380. DOI 10.1080/07362990500522411.
  • Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
  • He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
  • Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
  • Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
  • Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
  • Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.