Строфоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится следующим образом (см. Рис. 1):

Рис. 1
Рис. 2

В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.

В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Уравнения[править | править вики-текст]

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол (для прямоугольной системы координат ), записывается так:

.

Уравнение прямой строфоиды:

.

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

.

Параметрическое уравнение строфоиды:

, где
.

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

История[править | править вики-текст]

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Он называл эту кривую «птероидой» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.

Нахождение касательной[править | править вики-текст]

В точке производная , то есть в точке существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен .


Радиус кривизны[править | править вики-текст]

в точке определяется так:

.

Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой[править | править вики-текст]

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат

.

Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат

.


Объём тела вращения[править | править вики-текст]

Объём () тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

   (6)

Итак:

.

Объём () тела, образованного при вращении ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от до , где  :

.

Если , то , то есть .