Струя (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике струя (или джет, от англ. jet) отображения на многообразии  — это операция, сопоставляющая каждой точке из некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора в точке ). С точки зрения теории струй эти многочлены рассматриваются не как полиномиальные функции, а как абстрактные алгебраические многочлены, зависящие от точки многообразия.

Струи на евклидовом пространстве[править | править вики-текст]

Аналитическое определение[править | править вики-текст]

Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на -адический анализ и т. п.

Пусть  — векторное пространство гладких отображений . Пусть  — неотрицательное целое число,  — точка в . Определим класс эквивалентности в этом пространстве следующим образом: две функции и эквивалентны порядка , если они имеют равное значение в точке и все их частные производные до -го порядка включительно совпадают в этой точке.

Пространство -струй (струй -го порядка) на в точке  — это множество классов эквивалентности ; обозначается как .

-струя гладкого отображения в точке  — это класс эквивалентности в , содержащий .

Алгебро-геометрическое определение[править | править вики-текст]

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть  — векторное пространство ростков гладких отображений в точке . Пусть  — идеал отображений, равных нулю в точке (это максимальный идеал локального кольца ), а  — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке с точностью до -го порядка. Определим пространство струй в точке как

Если  — гладкое отображение, то можно определить -струю в точке как элемент , для которого

Теорема Тейлора[править | править вики-текст]

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами и , поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку[править | править вики-текст]

Мы определили пространство струй в точке . Подпространство, содержащее те струи отображения , для которых , обозначается

Струи сечений гладкого расслоения[править | править вики-текст]

Пусть  — гладкое расслоение. Струёй -го порядка его сечений называется класс эквивалентности этих сечений, отождествляемых, если их значения и значения их частных производных до -го порядка в точке совпадают. Струи -го порядка образуют гладкое многообразие , называемое многообразием струй.

Теория связностей, теория дифференциальных операторов и лагранжева теория на гладких расслоениях (в том числе классическая теория поля) формулируются в терминах многообразий струй .

Литература[править | править вики-текст]