Струя (математика)

Струя отображения $f$ на многообразии $M$ — это операция, сопоставляющая каждой точке $x$ из $M$ некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора $f$ в точке $x$). С точки зрения теории струй эти многочлены рассматриваются не как полиномиальные функции, а как абстрактные алгебраические многочлены, зависящие от точки многообразия.

Струи на евклидовом пространстве

Аналитическое определение

Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на $p$-адический анализ и т. п.

Пусть $C^\infty(\R^n,\;\R^m)$ — векторное пространство гладких отображений $f\colon\R^n\to\R^m$. Пусть $k$ — неотрицательное целое число, $p$ — точка в $\R^n$. Определим класс эквивалентности $E_p^k$ в этом пространстве следующим образом: две функции $f$ и $g$ эквивалентны порядка $k$, если они имеют равное значение в точке $p$ и все их частные производные до $k$-го порядка включительно совпадают в этой точке.

Пространство $k$-струй (струй $k$-го порядка) на $C^\infty(\R^n,\;\R^m)$ в точке $p$ — это множество классов эквивалентности $E^k_p$; обозначается как $J^k_p(\R^n,\;\R^m)$.

$k$-струя гладкого отображения $f\in C^\infty(\R^n,\;\R^m)$ в точке $p$ — это класс эквивалентности в $J^k_p(\R^n,\;\R^m)$, содержащий $f$.

Алгебро-геометрическое определение

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть $C^\infty(\R^n_p,\;\R^m)$ — векторное пространство ростков гладких отображений $f\colon\R^n\to\R^m$ в точке $p\in\R^n$. Пусть $\mathfrak{m}_p$ — идеал отображений, равных нулю в точке $p$ (это максимальный идеал локального кольца $C^\infty(\R^n_p,\;\R^m)$), а $\mathfrak{m}_p^{k+1}$ — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке $p$ с точностью до $k$-го порядка. Определим пространство струй в точке $p$ как

$J^k_p(\R^n,\;\R^m)=C^\infty(\R^n_p,\;\R^m)/\mathfrak{m}_p^{k+1}.$

Если $f\colon\R^n\to\R^m$ — гладкое отображение, то можно определить $k$-струю $f$ в точке $p$ как элемент $J^k_p(\R^n,\;\R^m)$, для которого

$J^k_pf=f\,(\bmod\,\mathfrak{m}_p^{k+1}).$

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами $J^k_p(\R^n,\;\R^m)$ и $\R^m[z]/(z^{k+1})$, поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку

Мы определили пространство $J^k_p(\R^n,\;\R^m)$ струй в точке $p\in\R^n$. Подпространство, содержащее те струи отображения $f$, для которых $f(p)=q$, обозначается

$J^k_p(\R^n,\;\R^m)_q=\{J^kf\in J^k_p(\R^n,\;\R^m)\mid f(p)=q\}.$

Струи сечений гладкого расслоения

Пусть $Y\to X$ — гладкое расслоение. Струёй $k$-го порядка $j^k_xs$ его сечений $s$ называется класс эквивалентности этих сечений, отождествляемых, если их значения и значения их частных производных до $k$-го порядка в точке $x$ совпадают. Струи $k$-го порядка образуют гладкое многообразие $J^kY$, называемое многообразием струй.

Теория связностей, теория дифференциальных операторов и лагранжева теория на гладких расслоениях (в том числе классическая теория поля) формулируются в терминах многообразий струй $J^kY$.

Литература

• Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
• Saunders D. The geometry of jet bundles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4..
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886