Струя (математика)

В математике струя (или джет, от англ. jet) отображения $f$ на многообразии $M$ — это операция, сопоставляющая каждой точке $x$ из $M$ некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора $f$ в точке $x$). С точки зрения теории струй эти многочлены рассматриваются не как полиномиальные функции, а как абстрактные алгебраические многочлены, зависящие от точки многообразия.

Струи на евклидовом пространстве

Аналитическое определение

Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на $p$-адический анализ и т. п.

Пусть $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$ — векторное пространство гладких отображений $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$. Пусть $k$ — неотрицательное целое число, $p$ — точка в $\mathbb {R} ^{n}$. Определим класс эквивалентности $E_{p}^{k}$ в этом пространстве следующим образом: две функции $f$ и $g$ эквивалентны порядка $k$, если они имеют равное значение в точке $p$ и все их частные производные до $k$-го порядка включительно совпадают в этой точке.

Пространство $k$-струй (струй $k$-го порядка) на $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$ в точке $p$ — это множество классов эквивалентности $E_{p}^{k}$; обозначается как $J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$.

$k$-струя гладкого отображения $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$ в точке $p$ — это класс эквивалентности в $J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$, содержащий $f$.

Алгебро-геометрическое определение

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть $C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$ — векторное пространство ростков гладких отображений $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ в точке $p\in \mathbb {R} ^{n}$. Пусть ${\mathfrak {m}}_{p}$ — идеал отображений, равных нулю в точке $p$ (это максимальный идеал локального кольца $C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$), а ${\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}$ — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке $p$ с точностью до $k$-го порядка. Определим пространство струй в точке $p$ как

$J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})=C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}.$

Если $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ — гладкое отображение, то можно определить $k$-струю $f$ в точке $p$ как элемент $J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$, для которого

$J_{p}^{k}f=f\,({\bmod {\,}}{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}).$

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами $J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$ и $\mathbb {R} ^{m}[z]/(z^{k+1})$, поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку

Мы определили пространство $J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})$ струй в точке $p\in \mathbb {R} ^{n}$. Подпространство, содержащее те струи отображения $f$, для которых $f(p)=q$, обозначается

$J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})_{q}=\{J^{k}f\in J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})\mid f(p)=q\}.$

Струи сечений гладкого расслоения

Пусть $Y\to X$ — гладкое расслоение. Струёй $k$-го порядка $j_{x}^{k}s$ его сечений $s$ называется класс эквивалентности этих сечений, отождествляемых, если их значения и значения их частных производных до $k$-го порядка в точке $x$ совпадают. Струи $k$-го порядка образуют гладкое многообразие $J^{k}Y$, называемое многообразием струй.

Теория связностей, теория дифференциальных операторов и лагранжева теория на гладких расслоениях (в том числе классическая теория поля) формулируются в терминах многообразий струй $J^{k}Y$.

Литература

• Бочаров А. В., Вербовецкий А. М.., Виноградов А. М., Дужин С. М., Красильщик И. С., Самохин А. В., Торхов Ю. Н., Хорькова Н. Г., Четвериков В. Н., под редакцией Виноградова А. М. и Красильщика И. С. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики — М.: Факториал, 2005 — 380 с. ISBN 5-88688-074-7
• Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986. — 336 с.
• Saunders D. The geometry of jet bundles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4..
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886