Стягиваемое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

Свойства[править | править вики-текст]

Пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда существует такое, что  — деформационный ретракт пространства .

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в гомотопны, то  — стягиваемое пространство.

Конус для данного пространства  — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция .

Примеры и контрпримеры[править | править вики-текст]

Стягиваемы -мерное вещественное пространство , любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — -мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом -мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение -мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на -мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное ), многообразие Мазура[en] (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга, шутовской колпак.

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

Литература[править | править вики-текст]

  • Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 39—42. — 680 с.