Субгармоническая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи, и класс гармонических функций.

Определение[править | править вики-текст]

Непрерывная функция , заданная в точках произвольной k-мерной области пространства , называется субгармонической, если, каким бы ни был шар с центром в точке , принадлежащий вместе со своей границей области , справедливо неравенство , и супергармонической, если .[1]

Основные свойства[править | править вики-текст]

  1.  — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
  2. Если  — открытое множество и ( — класс дважды непрерывно дифференцируемых на функций), то для субгармоничности необходимо и достаточно выполнение на условия ( — оператор Лапласа).
  3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Связь с аналитическими функциями[править | править вики-текст]

Теория субгармонических функций находит немалое применение в комплексном анализе, потому что субгармонические и аналитические функции тесно связаны. А именно, можно показать что для любой аналитической в некоторой области функции f(z) функция будет субгармонической в , если рассматривать как подмножество .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций, М.: Наука, 1968