Сублинейная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сублинейной функцией в математике называется функция над действительным векторным пространством (более общо вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:

  для всех и всех x ∈ V (положительная однородность),
  для всех xy ∈ V (субаддитивность).

Эквивалентные определения[править | править вики-текст]

Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:

  для всех xy ∈ V і .

Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:

Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.

Другое альтернативное определение: функция является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:

  для всех xy ∈ V и всех .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция , если  — линейная.
  • Длина вектора в -мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в
  • Пусть M — пространство ограниченных последовательностей

Функционал:

является сублинейным.

Свойства[править | править вики-текст]

  • . Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности.
  • Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если , тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:

согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.

  • Для любого выполняется неравенство:

При это следует из определения положительной однородности, при  — из первого свойства, если же , то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:

или:

См. также[править | править вики-текст]