Сужение функции

Сужение функции на подмножество $X$ её области определения $D\supset X$ — функция с областью определения $X$, совпадающая с исходной функцией на всём $X$.

Сужение функции $f$ на $X$ обычно обозначается $f|_{X}$ или $f|X$. Так, для $f:A\to B$, и $X\subset A$, $g=f|_{X}$ означает, что $g:X\to B$ и $g(x)=f(x)$ для любого $x\in X$.

Определение

Пусть дано отображение $f\colon X\to Y$ и $M\subset X$.

Функция $g\colon M\to Y$, которая принимает на $M$ те же значения, что и функция $f$, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции $f$ на множество $M$.

Вариации и обобщения

• Наиболее общее определение сужения реализуется в контексте пучков^{[уточнить]}.
• Для функции $f:A\to B$ рассматривают также сужение на подмножество $A\times B$

Продолжение

Запрос «Продолжение функции»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Если функция $g\colon M\to Y$ такова, что она является сужением для некоторой функции $f\colon X\to Y$, то функция $f$, в свою очередь, называется продолжением функции $g$ на множество $X$.

Имея некоторую функцию $f\colon X\to Y$, её можно продолжить бесконечным числом способов на множество $M\supset X$, в том числе непрерывным образом. Однако, если функция $f$ — аналитическая функция в $X$, то существует единственное аналитическое продолжение на $M$.