Суммирующая функция делителей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Суммирующая функция с удаленной асимптотической составляющей для
Суммирующая функция с удалённой асимптотической составляющей для
Суммирующая функция с удалённой асимптотической составляющей для в виде распределения или гистограммы. Вертикальная составляющая не является константой слева направо

Суммирующая функция делителей в теории чисел — функция, являющаяся суммой функции делителей. Функция часто используется для исследования асимптотического поведения дзета-функции Римана. Различные исследования асимптотического поведения функции делителей иногда называют проблемами делителей.

Определение[править | править вики-текст]

Суммирующая функция делителей определяется как:

,

где

функция делителей. Функция делителей считает число путей, какими целое число n может быть записано в виде произведения двух целых чисел.

В более общем виде её можно определить как

,

где dk(n) определяет число путей представления числа n в виде произведения k чисел. Это число может быть представлено визуально как число узлов решетки, ограниченных гиперболической поверхностью в k измерениях. Тогда, при k=2, D(x)=D2(x) представляет число точек квадратной решетки, ограниченных осями координат и гиперболой jk = x. Эта фигура грубо может быть представлена как гиперболический симплекс, что позволяет нам получить альтернативный путь для выражения D(x) и более простой путь вычисления за время :

, где

Если в этом контексте гиперболу заменить окружностью, получится задача вычисления похожей функции, которая известна как проблема круга Гаусса.

Проблема делителей Дирихле[править | править вики-текст]

Нахождение законченного выражения для этой суммы выглядит невозможным, но можно дать аппроксимацию, которую несложно найти. Дирихле показал, что

,

где  — постоянная Эйлера — Маскерони, а неасимптотическая составляющая равна

Точная формулировка проблемы делителей Дирихле состоит в нахождении нижней грани всех значений , для которых

выполняется для любого . К 2006 году проблема оставалась нерешённой.

Секция F1 нерешённых проблем в теории чисел[1] даёт обзор, что известно и что остается неизвестным о проблеме делителей Дирихле и проблеме круга Гаусса.

  • В 1904 году Вороной доказал, что оценка отклонения может быть улучшена до [2].
  • В 1916 году Харди показал, что . В частности, он продемонстрировал, что для некоторой постоянной , существуют такие x, что и такие x, что [3].
  • В 1922 году Йоханнес ван дер Корпут улучшил оценку Дирихле до
  • В 1928 году Йоханнес ван дер Корпут доказал, что
  • В 1950 году Чи Цун-тао (Chih Tsung-tao) и, независимо, в 1953 году Ричерт (H. E. Richert) доказали, что
  • В 1969 году Григорий Колесник показал, что
  • В 1973 году Григорий Колесник показал, что .
  • В 1982 году Григорий Колесник показал, что .
  • В 1988 году Г. Иванец и Модзоки (C. J. Mozzochi) доказали, что [4].
  • В 2003 году Мартин Хаксли улучшил оценку показав, что [5].

Таким образом, истинное значение лежит где-то между 1/4 и 131/416 (примерно 0,3149). Широко распространена гипотеза, что значение равно в точности 1/4. Прямые вычисления приводят к этой гипотезе, поскольку оказывается почти нормальным распределением с дисперсией 1 для x вплоть до 1016.

Обобщенная проблема делителей[править | править вики-текст]

В обобщённом случае

где  — многочлен степени .

Используя простые оценки можно показать, что

для целых . Как и в случае , нижняя граница неизвестна. Если обозначить через минимальное значение, для которого выполняется

для любого , то известны следующие результаты:

  • Вороной и Ландау: для
  • Харди и Литтлвуд: для
  • Харди показал, что для
  • Титчмарш предположил, что .

Преобразование Меллина[править | править вики-текст]

Оба члена можно выразить через преобразование Меллина:

для . Здесь,  — дзета-функции Римана.

Подобным же образом

с . Асимптотический член получается сдвигом контура за двойную особую точку : асимптотический член — это просто вычет (по интегральной формуле Коши).

В общем случае

и то же самое для , for .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory. — 3rd. — Berlin: Springer, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.
  2. Ivic Aleksandar. The Riemann Zeta-Function. — New York: Dover Publications, 2003. — ISBN 0-486-42813-3.
  3. Montgomery Hugh, R. C. Vaughan. Multiplicative Number Theory I: Classical Theory. — Cambridge: Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-84903-6.
  4. Henryk Iwaniec, C. J. Mozzochi On the divisor and circle problems // Journal of Number Theory. — 1988. — Вып. 29. — С. 60—93. — DOI:10.1016/0022-314X(88)90093-5.
  5. Martin Huxley Exponential sums and lattice points III // Proc. London Math. Soc.. — 2003. — Т. 87, № 3. — С. 591—609. — DOI:10.1112/S0024611503014485.

Литература[править | править вики-текст]

  • Гарольд Эдвардс. Riemann’s Zeta Function'. — Dover Publications, 1974. — ISBN 0-486-41740-9.
  • E. C. Titchmarsh. chapter 12 for a discussion of the generalized divisor problem // The theory of the Riemann Zeta-Function. — Oxford: Oxford at the Clarendon Press, 1951.
  • Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — ISBN 978-0-387-90163-3.. Дает введение в проблему Дирихле о делителях.
  • H. E. Rose. A Course in Number Theory. — Oxford, 1988.
  • Мартин Хаксли Exponential Sums and Lattice Points III // Proc. London Math. Soc. — 2003. — Т. 87, № 3. — С. 591—609.