Суперкорень

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике суперкорень — это одна из двух обратных функций тетрации.

Так же как возведение в степень имеет две обратных функции (корень и логарифм), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм. Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при . Суперкорень не является элементарной функцией.

Определение[править | править код]

Для любого неотрицательного целого числа суперкорень -ой степени из можно определить, как одно из решений уравнения: .

График функции суперкорня второй степени

Суперкорень неоднозначная функция. Так при и уравнение вида имеет два суперкорня из , причём оба они будут положительны и меньше . Эта двойственность значений объясняется тем, что функция немонотонна.

Суперкорень не всегда можно извлечь даже из положительного числа, что является следствием наличия у функций вида глобального минимума. Например, при производная функции имеет одну точку экстремума , из-за чего нахождение значений суперкорня второй степени из при становится невозможным (см. график).

Примеры[править | править код]

Примеры извлечения суперкорня из положительного действительного числа:

  1. Суперкорень четвёртой степени из 65536 равен 2, т.к.
  2. Суперкорень второй степени из 27 равен 3, т.к.
  3. Суперкорень второй степени из равен -2, т.к.
  4. Суперкорень второй степени из имеет два значения: и , т.к.

Суперкорень второй степени и функция Ламберта[править | править код]

Функция суперкорня второй степени выражается через W-функцию Ламберта[1]. А именно решением уравнения является

.

Так как функция Ламберта является многозначной функцией на интервале , то и извлечения суперкорня второй степени является неоднозначной на .

Открытые проблемы[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function (неопр.) // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Т. 5. — С. 333. — DOI:10.1007/BF02124750.

Ссылки[править | править код]