Суперлогарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике суперлогарифм — это одна из двух обратных функций тетрации.

Так же как возведение в степень имеет две обратных функции (корень и логарифм), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм. Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при .

Определения[править | править код]

Суперлогарифм числа по основанию , аналогично логарифму, определяется, как показатель тетрации основания , при котором получается число .

Обозначение: , произносится как «суперлогарифм по основанию ».

Суперлогарифм как решение уравнения[править | править код]

Для положительных чисел и суперлогарифм можно определить как одно из существующих решений уравнения:

; притом исходя из открытых теоретических проблем, суперлогарифм точно может принимать пока только чётные и нечётные значения (то есть они могут быть определенны и вычислены). Для нечётного суперлогарифма числа и могут принимать любые положительные значения, — это объясняется тем, что функции вида при всюду возрастают (из-за отсутствия положительных точек экстремумов производных).

Для чётного же логарифма есть некоторые ограничения. Так, например, для не существует такого , чтобы выполнялось неравенство (потому что число является минимальным значением тетрации ). Однако, для ограничение будет уже другим (и т.д.).

Свойства[править | править код]

Основное суперлогарифмическое тождество[править | править код]

Из определения суперлогарифма следует основное суперлогарифмическое тождество:

Комментарии: из однозначности тетрации при следует равенство суперлогарифмируемых выражений: если , то , т.к. , и, как следствие, .

Суперлогарифм единицы и числа, равного основанию[править | править код]

Предполагается (или определяется), что , исходя из чего следует равенство .

Неизвестно, однако, однозначен ли сам суперлогарифм (существует ли такое , что  ?).

Другие известные свойства[править | править код]

Остальные свойства суперлогарифма определены для положительных и (но не для любых):

  • [1], — довольно очевидное свойство:

.

  • , что легко выводится, исходя из свойств тетрации и основного суперлогарифмического тождества:

.

  • , что, опять же, легко выводится на тех же основаниях:

.

  • В общем случае, .
  • Чётные суперлогарифмы одинаковых чисел, но с разными основаниями, могут быть равны. Простой пример: .

Замена основания[править | править код]

Для суперлогарифма верна следующая формула с заменой оснований: .

Доказательство: .

Однако, более общая формула, аналогичная замене оснований логарифма, основывается на свойстве логарифма вынесения показателя степени числа:

. Для суперлогарифма такая формула будет неверна, поскольку ни показатель тетрации (см. свойства), ни показатель степени () в качестве множителя выносить нельзя(!).

Неравенства[править | править код]

Значение суперлогарифма какого-либо числа, во-первых, существует не всегда (см. выше), а во-вторых, чётко определено только в случае, когда и основание, и число лежат по одну сторону от единицы (т.е. при , либо при ). Если же эти неравенства нарушаются, то, скорее всего, суперлогарифм примет отрицательные значения.

Любое неравенство для положительных чисел можно суперлогарифмировать (не всегда). При этом, если основание суперлогарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется (например, , т.к. ), а если основание меньше единицы, знак неравенства, скорее всего, изменится на противоположный.

Открытые проблемы[править | править код]

  • Неизвестно, поддаются ли значения суперлогарифмов однозначному логическому обобщению на иррациональные и/или отрицательные действительные (а также комплексные) числа, до сих пор не разработан ни один универсальный алгоритм (способ) вычисления суперлогарифмов[2].

Примечания[править | править код]

  1. Super-logarithm (англ.) // Wikipedia. — 2018-03-16.
  2. Tetration Forum (англ.). math.eretrandre.org. Проверено 6 мая 2018.

Ссылки[править | править код]